Home » Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia


Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi riguardanti la determinazione del centro di massa di figure piane e solide, oltre ad alcuni esercizi che riguardano anche il calcolo di momenti d’inerzia.

All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di 15 esercizi svolti. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

 

Esercizio 1   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si calcoli la posizione del centro di massa di un semianello rigido sottile, omogeneo, di raggio R.

 
Svolgimento esercizio 1
 

Esercizio 2   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si trovi la posizione del centro di massa di una lamina piana omogenea di spessore trascurabile, avente la forma di un semicerchio di raggio R.

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si consideri la bacchetta rettilinea di lunghezza l e massa m rappresentata in figura. Si
calcoli la posizione del centro di massa nei casi seguenti.
1. La bacchetta è omogenea;
 
2. La densità lineare in un punto P a distanza x dall’estremo sinistro della bacchetta è \lambda(x)= \dfrac{2m}{l^2}x;
 
3. La densità lineare in un punto P a distanza x dall’estremo sinistro della bacchetta è \lambda(x)= \dfrac{3m}{l^3}x^2.

 

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Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\larghwhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Un telaio rettangolare è formato da quattro aste omogenee saldate come in figura: QR ed ST identiche, di massa 2m e lunghezza 2L, RS, di massa 3m e lunghezza L e QT, di massa m e lunghezza L. Determinare la posizione del centro di massa del corpo.

 

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Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si determini la posizione del centro di massa di una bacchetta di lunghezza l, la cui densità lineare è \lambda_1 nel primo tratto lungo \dfrac{l}{3} e \lambda_2 nel secondo tratto lungo \dfrac{2l}{3}.

 
Svolgimento esercizio 5
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Un’asta omogenea di massa m è piegata in forma di un arco di cerchio di raggio a e angolo al centro corrispondente all’arco di cerchio considerato 2\alpha, come mostrato in figura.
1. Dimostrare che il centro di massa si trova a una distanza d da O pari a d=a\dfrac{\sin\alpha}{\alpha};
2. Determinare il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per il centro di massa e ortogonale al piano che contiene l’asta.

 

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Svolgimento esercizio 6
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Determinare il centro di massa di un arco AB di circonferenza di raggio R e angolo al centro corrispondente all’arco di cerchio considerato \phi, supponendo che la densità, in un suo punto generico P, sia

(1)   \begin{equation*} \lambda(P) = \dfrac{\lambda_0}{R} l, \end{equation*}

essendo \lambda_0 un parametro positivo avente le dimensioni di una densità lineare, e l la lunghezza dell’arco di cerchio da A a P.

 
Svolgimento esercizio 7
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Determinare il centro di massa di un tratto, sotteso dall’angolo al centro \phi, di una corona circolare piena omogenea compresa fra le circonferenze di raggio R_1 ed R_0 (con R_1 > R_0).

 
Svolgimento esercizio 8
 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Determinare il centro di massa della superficie piana omogenea a forma di arco rappresentata in figura considerando i dati ivi illustrati.

 

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Svolgimento esercizio 9
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dato a>0, determinare il centro di massa di un tetraedro omogeneo delimitato dai piani x=0, y=0, z=0 e x+y+z=a.

 
Svolgimento esercizio 10
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Determinare il centro di massa di una semisfera solida omogenea di raggio R.

 
Svolgimento esercizio 11
 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia del settore omogeneo di raggio R, ampiezza \alpha e massa m mostrato in figura rispetto all’asse ad esso ortogonale e passante per il centro di massa.

 

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Svolgimento esercizio 12
 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dimostrare che il momento d’inerzia di un triangolo rettangolo omogeneo di massa m e di cateti a e b rispetto ad un asse ad esso ortogonale e passante per il proprio centro di massa è \frac{m}{18}(a^2+b^2).

 
Svolgimento esercizio 13
 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Una lamina quadrata di lato l=20\ \mathrm{cm} ha spessore trascurabile ed è disposta nel piano xy come è mostrato in figura. La densità superficiale varia da punto a punto secondo la legge \sigma(x,y)=\sigma_0 + \gamma(x+y), con \sigma_0= 5 \ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 e \gamma=10\  \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Si calcoli la massa della lamina e le coordinate del centro di massa.

 

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Svolgimento esercizio 14
 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Su un piano verticale si trova una lamina omogenea di massa m=10\ \mathrm{kg}, con spessore trascurabile e sagomata a forma di cerchio di centro O e raggio 4r con un foro, anch’esso circolare, di centro O' e raggio r=30\ \mathrm{cm}; i centri O e O' distano tra loro 2r. Si determini la posizione del centro di massa G della lamina e i moduli dei momenti della forza peso relativi ai poli O e O'; si consideri che la forza peso agisce in direzione dell’asse y rappresentato nella figura.

 

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Svolgimento esercizio 15
 

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