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Teoremi di Stolz-Cesàro

Teoria sulle Successioni

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Benvenuti nel nostro articolo sui teoremi di Stolz-Cesàro. Questi risultati, analoghi al teorema di De l’Hopital, mettono in luce il legame tra il rapporto tra i termini della successione con il rapporto delle loro somme; equivalentemente, un teorema di Stolz-Cesàro afferma che il limite del rapporto \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} (che possiamo interpretare come il rapporto tra le “derivate discrete” delle successioni) coincide col limite del rapporto \frac{a_n}{b_n}.
I teoremi di Stolz-Cesàro sono molto importanti nella teoria delle successioni e consentono di semplificare in molti casi il calcolo di un limite, oltre a ottenere delle interessanti identità. In questo articolo passiamo in rassegna i teoremi fondamentali di questo tipo, oltre ad alcune applicazioni.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 
 
Iniziamo con un risultato fondamentale che afferma essenzialmente che se il rapporto tra due successioni a_n e b_n tende a \ell, allora anche il rapporto tra le somme dei primi n termini tenderà a \ell.

Teorema 1. Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni tali che

  1. b_n>0 per ogni n\in\mathbb{N};

  2. \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n} b_k=+\infty;

    3.  

  3. \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell,\qquad\ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\}.

Allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Supponiamo \ell\in\mathbb{R}; per la generalizzazione al caso \ell\in\{+\infty,\,-\infty\} basterà considerare solo un verso delle disuguaglianze di questa dimostrazione.

Per ipotesi, fissato un valore \varepsilon>0 esiste n_1\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} \left|\frac{a_n}{b_n}-\ell\right|<\varepsilon\Longrightarrow\, \ell-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+\varepsilon\qquad\forall n\geq n_1. \end{equation*}

Poiché sempre per ipotesi la successione b_n è positiva, si ha

    \begin{equation*} (\ell-\varepsilon)b_n<a_n<(\ell+\varepsilon)b_n\qquad\forall n\geq n_1, \end{equation*}

e quindi per n\geq n_1

    \begin{equation*} (\ell-\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k<\sum_{k=n_1}^{n}a_k<(\ell+\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k. \end{equation*}

Aggiungendo ai membri delle disuguaglianze la quantità \sum_{k=1}^{n_1-1}a_k, otteniamo

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n_1-1}a_k+(\ell-\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k<\sum_{k=1}^{n}a_k<\sum_{k=1}^{n_1-1}a_k+(\ell+\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k, \end{equation*}

ovvero

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell-\varepsilon)b_k)+(\ell-\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}b_k<\sum_{k=1}^{n}a_k<\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell+\varepsilon)b_k)+(\ell+\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}b_k. \end{equation*}

Dividendo i membri della disuguaglianza per \sum_{k=1}^{n}b_k>0, otteniamo

(1)   \begin{equation*} \frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell-\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}+\ell-\varepsilon<\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}<\frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell+\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}+\ell+\varepsilon. \end{equation*}

Poiché \sum_{k=1}^{n}b_k\longrightarrow +\infty per n\to +\infty, allora

    \begin{equation*} \frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell-\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}\rightarrow 0,\qquad\qquad\qquad \frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell+\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}\rightarrow 0, \end{equation*}

quindi è possibile determinare n_2\geq n_1 tale che

    \begin{equation*} \begin{split} &\left|\frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell-\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}\right|<\varepsilon\Rightarrow \frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell-\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}>-\varepsilon\qquad\forall n\geq n_2\\& \left|\frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell+\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}\right|<\varepsilon\Rightarrow \frac{\sum_{k=1}^{n_1-1}(a_k-(\ell+\varepsilon)b_k)}{\sum_{k=1}^{n}b_k}<\varepsilon\qquad\forall n\geq n_2. \end{split} \end{equation*}

Usando le disuguaglianze (1) otteniamo che

    \begin{equation*} \ell-2\varepsilon<\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}<\ell+2\varepsilon\qquad\forall n\geq n_2. \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \varepsilon otteniamo la tesi.
 
Osservazione 2. Consideriamo due successioni

    \begin{equation*} \begin{split} &a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\\ &b_n=\begin{cases} 2&\text{ se }n=1\\ a_n&\text{ se }n>1. \end{cases} \end{split} \end{equation*}

Verifichiamo l’importanza dell’ipotesi 2 con un controesempio. Ovviamente b_n>0 per ogni n\in\mathbb{N} e

    \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty}\frac{a_n}{b_n}=1, \end{equation*}

ma

    \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} b_k=\frac{5}{2}, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’uguaglianza \sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q} se |q|<1. In questo caso

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}\neq 1. \end{equation*}

Corollario 3. Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione convergente a \ell; allora anche la media aritmetica dei suoi termini converge a \ell, ovvero

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione Consideriamo la successione b_n=1 per ogni n\in\mathbb{N}, allora

  1. b_n>0 per ogni n\in\mathbb{N},
  2. \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} b_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} 1=\lim_{n \to \infty} n=+\infty.
  3. \lim_{n \to + \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \to + \infty}a_n=\ell.

Allora per il teorema 1

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_n}{\sum_{k=1}^{n}b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_n}{n}=\ell. \end{equation*}

 
Esempio 4. Il viceversa del corollario 3 è falso. Consideriamo la successione a_n=(-1)^n: sappiamo che essa non ammette limite, mentre la successione della media aritmetica dei suoi termini soddisfa

    \begin{equation*} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}(-1)^n}{n}=\begin{cases} \frac{-1}{n}&\text{per }n\text{ dispari}\\\\ 0&\text{per }n\text{ pari} \end{cases} \end{equation*}

e quindi tende a 0.
 
Enunciamo e dimostriamo un ulteriore teorema di Stolz-Cesaro, che formalizza un’idea che intuitivamente può essere descritta come segue: se consideriamo due successioni di numeri reali a_n e b_n tali che i rapporti tra gli incrementi tendeno a un valore \ell allora è ragionevole aspettarsi che il rapporto tra i termini n-esimi delle due successioni tenderà a \ell.

Teorema 5 (Stolz-Cesaro). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni di numeri reali. Se

  1. b_n>0 per ogni n\in\mathbb{N},
  2. b_n è strettamente crescente,
  3. b_n è illimitata,
  4. esiste \ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\} tale che

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell, \end{equation*}

allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Poniamo per semplicità a_0=0 e b_0=0 e definiamo le due nuove successioni

    \begin{equation*} a_n'=a_{n}-a_{n-1},\qquad\qquad\qquad b_n'=b_n-b_{n-1}, \end{equation*}

per n\geq 1. Allora

(2)   \begin{equation*} \begin{split} &\sum_{k=1}^{n}a_k'=\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})=a_n-a_0=a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N},\\& \sum_{k=1}^{n}b_k'=\sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k-1})=b_n-b_0=b_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}. \end{split} \end{equation*}

In particolare la successione \{b_n'\} ha le seguenti proprietà:

  • b_n'>0 per ogni n\in\mathbb{N} perché per ipotesi b_n è strettamente crescente.
  • Per (2) \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}b_k'=\lim_{n \rightarrow +\infty} b_n=+\infty perché la successione \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} è strettamente crescente e illimitata.

Inoltre

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n'}{b_n'}=\ell, \end{equation*}

quindi per il corollario 3 si ha

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k'}{\sum_{k=1}^{n}b_k'}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell. \end{equation*}

 
Esempio 6. Consideriamo le due successioni

    \begin{equation*} \begin{split} &a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}\\ &b_n=n \end{split} \end{equation*}

per ogni n\in\mathbb{N}. Ovviamente la successione b_n è positiva, strettamente crescente e illimitata. Inoltre

    \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \to + \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{k+1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}}{n+1-n}=\lim_{n \to + \infty} \frac{n+1}{n+2}=1. \end{equation*}

Allora per il teorema 5 possiamo concludere che

    \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}}{n}=1. \end{equation*}

 
Il viceversa del teorema 5 è in generale falso, ossia non si può asserire l’esistenza del limite \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}- a_{n}}{b_{n+1}- b_{n}} basandosi sull’esistenza di \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}, come mostra il seguente esempio.
 
Esempio 7. Consideriamo le successioni a_n,b_n definite da

(3)   \begin{equation*} a_n=(-1)^n, \quad b_n=n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

b_n è positiva, crescente, illimitata e vale

(4)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0. \end{equation*}

Tuttavia il limite

(5)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}- a_{n}}{b_{n+1}- b_{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n+1}-(-1)^n}{(n+1)-n} = \lim_{n \to +\infty} 2\cdot (-1)^{n+1} \end{equation*}

non esiste.
 

Corollario 8. Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione tale che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}(a_{n+1}-a_n)=\ell, \end{equation*}

con \ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\}. Allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{n}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Consideriamo la successione b_n=n, allora questa è positiva, strettamente crescente e illimitata. Inoltre

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{n+1-n}=\lim_{n \rightarrow +\infty} (a_{n+1}-a_n)=\ell, \end{equation*}

quindi per il teorema 5 si ha

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{n}=\ell. \end{equation*}

 

Corollario 9. Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione positiva tale che \displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=\ell\in [0;\infty)\cup\{+\infty\}. Allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_k}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Consideriamo la successione b_n=\log a_n. Si ha

(6)   \begin{equation*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\log a_k = \log \left ( \left (\prod_{k=1}^{n} a_k \right )^{\frac{1}{n}} \right ). \end{equation*}

Per le proprietà di continuità dei logaritmi si ha

(7)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}b_n= \begin{cases} -\infty & \text{se $\ell=0$} \\ \log \ell & \text{se $\ell\in (0,+\infty)$} \\ +\infty & \text{se $\ell=+\infty$} \end{cases} \end{equation*}

e chiamiamo B tale limite. Applicando il corollario 3 alla successione b_n e tenendo conto di (6) si ottiene

(8)   \begin{equation*} B = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}b_k = \lim_{n \to +\infty} \log \left ( \left (\prod_{k=1}^{n} a_k \right )^{\frac{1}{n}} \right ). \end{equation*}

Dalle proprietà della funzione esponenziale, inversa del logaritmo, si ha quindi

(9)   \begin{equation*} \ell = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} a_k }. \end{equation*}

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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