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Teoremi di Stolz-Cesàro

Teoria sulle Successioni

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Benvenuti nel nostro articolo sui teoremi di Stolz-Cesàro. Questi risultati, analoghi al teorema di De l’Hopital, mettono in luce il legame tra il rapporto tra i termini della successione con il rapporto delle loro somme; equivalentemente, un teorema di Stolz-Cesàro afferma che il limite del rapporto \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} (che possiamo interpretare come il rapporto tra le “derivate discrete” delle successioni) coincide col limite del rapporto \frac{a_n}{b_n}.
I teoremi di Stolz-Cesàro sono molto importanti nella teoria delle successioni e consentono di semplificare in molti casi il calcolo di un limite, oltre a ottenere delle interessanti identità. In questo articolo passiamo in rassegna i teoremi fondamentali di questo tipo, oltre ad alcune applicazioni.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 
 
Iniziamo con un risultato fondamentale che afferma essenzialmente che se il rapporto tra due successioni a_n e b_n tende a \ell, allora anche il rapporto tra le somme dei primi n termini tenderà a \ell.

Teorema 1. Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni tali che

  1. b_n>0 per ogni n\in\mathbb{N};

  2. \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n} b_k=+\infty;

    3.  

  3. \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=\ell,\qquad\ell\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,\,-\infty\}.

Allora

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k}=\ell. \end{equation*}

 
Dimostrazione. Supponiamo \ell\in\mathbb{R}; per la generalizzazione al caso \ell\in\{+\infty,\,-\infty\} basterà considerare solo un verso delle disuguaglianze di questa dimostrazione.

Per ipotesi, fissato un valore \varepsilon>0 esiste n_1\in\mathbb{N} tale che

\begin{equation*} \left|\frac{a_n}{b_n}-\ell\right|<\varepsilon\Longrightarrow\, \ell-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\ell+\varepsilon\qquad\forall n\geq n_1. \end{equation*}

Poiché sempre per ipotesi la successione b_n è positiva, si ha

\begin{equation*} (\ell-\varepsilon)b_n<a_n<(\ell+\varepsilon)b_n\qquad\forall n\geq n_1, \end{equation*}

e quindi per n\geq n_1

\begin{equation*} (\ell-\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k<\sum_{k=n_1}^{n}a_k<(\ell+\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k. \end{equation*}

Aggiungendo ai membri delle disuguaglianze la quantità \sum_{k=1}^{n_1-1}a_k, otteniamo

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n_1-1}a_k+(\ell-\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k<\sum_{k=1}^{n}a_k<\sum_{k=1}^{n_1-1}a_k+(\ell+\varepsilon)\sum_{k=n_1}^{n}b_k, \end{equation*}

ovvero

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