Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Teorema di unicità del limite per le successioni

Teoria sulle Successioni

Home » Teorema di unicità del limite per le successioni

Il teorema di unicità del limite è classicamente uno dei primi risultati che vengono presentati nella teoria dei limiti. Infatti, nonostante la nozione di limite formalizzi l’idea intuitiva di “valore a cui si avvicinano i termini della successione” e nonostante intuitivamente tale valore debba essere unico, ciò non è immediatamente chiaro dalla definizione.
È necessario quindi assicurarsi che, qualora esista, il limite di una successione sia unico, anche al fine di utilizzare la nota scrittura \lim_{n \to +\infty} a_n = \ell, in cui l’uso del segno di uguaglianza presuppone implicitamente che l’oggetto a sinistra dell’uguale sia unico.
In questo articolo esploriamo l’enunciato e la definizione del teorema, che vedremo si riconduce a provare che due numeri distinti possiedono intorni disgiunti, e cioè alla cosiddetta “proprietà di separazione degli intorni”.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Teorema 1 (unicità del limite). Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione tale che

    \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}; \end{equation*}

allora tale limite è unico.

 

Dimostrazione. Supponiamo che a_n \to \ell_1 e a_n \to \ell_2 con \ell_1,\ell_2 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Siano I_1 un qualsiasi intorno di \ell_1 e I_2 un qualsiasi intorno di \ell_2. Per la definizione di limite \exists\,N_1\,N_2\in\mathbb{N} tale che a_n \in I_1 \forall n \geq N_1 e a_n \in I_2 \forall n\geq N_2. Quindi esiste N=\max\{N_1,\,N_2\} \in \mathbb{N} tale che

(1)   \begin{equation*} a_n \in I_1 \cap I_2 \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}

Il punto principale della dimostrazione è provare che, se \ell_1 \neq \ell_2, allora esistono due rispettivi intorni I_1 e I_2 disgiunti, rendendo quindi impossibile (1). Per mostrare l’esistenza di tali I_1,I_2, distinguiamo vari casi. Senza perdita di generalità supporremo sempre \ell_1 < \ell_2.

  • \ell_1,\ell_2 \in \mathbb{R}. Se \ell_1 e \ell_2 sono numeri reali distinti, consideriamo \varepsilon \coloneqq \frac{|\ell_1 - \ell_2|}{4} = \frac{\ell_2-\ell_1}{4}
    e poniamo

    (2)   \begin{gather*} I_1 = I_\varepsilon(\ell_1) = (\ell_1 - \varepsilon, \ell_1 + \varepsilon), %= %\left ( \ell_1 - \dfrac{\ell_2-\ell_1}{4} , \ell_1 + \dfrac{\ell_2-\ell_1}{4} \right ) \qquad I_2 = I_\varepsilon(\ell_2) = (\ell_2 - \varepsilon, \ell_2 + \varepsilon), \end{gather*}

    rappresentati rispettivamente in blu e in verde in figura 1. Poiché

    (3)   \begin{equation*} \ell_1 + \varepsilon = \ell_1 + \dfrac{\ell_2-\ell_1}{4} = \dfrac{3 \ell_1 + \ell_2}{4} < \dfrac{3\ell_2 + \ell_1}{4} = \ell_2 - \dfrac{\ell_2-\ell_1}{4} = \ell_2 - \varepsilon, \end{equation*}

    dove la disuguaglianza segue da \ell_1 < \ell_2, l’estremo destro dell’intervallo I_1 è strettamente minore dell’estremo sinistro dell’intervallo I_2, quindi I_1 \cap I_2= \emptyset.

     

    teorema di unicità del limite
     

    Figura 1: rappresentazione del teorema 1 nel caso \ell_1,\ell_2 \in \mathbb{R}. Poiché \ell_1 < \ell_2, esistono intorni I_1 e I_2 (in blu e in verde) rispettivamente di \ell_1 e \ell_2 disgiunti. Dato che a_n non può appartenere definitivamente a entrambi gli intervalli, \ell_1 e \ell_2 non possono essere entrambi limiti della successione.

     
     

  • \ell_1 \in \mathbb{R}, \ell_2=+\infty.Sia un qualsiasi \varepsilon>0 e si consideri l’intorno I_1=I_\varepsilon(\ell_1) = (\ell_1-\varepsilon,\ell_1+\varepsilon). Si scelga poi M>\ell_1+\varepsilon e si ponga I_2=(M,+\infty). Ovviamente I_1 e I_2 sono intorni disgiunti rispettivamente di \ell_1 e \ell_2.
  • \ell_1 =-\infty, \ell_2=+\infty. Si scelga M>0 e si ponga

    (4)   \begin{equation*} I_1=(-\infty,-M), \qquad I_2=(M,+\infty). \end{equation*}

    Chiaramente I_1 e I_2 sono intorni rispettivamente di \ell_1 e \ell_2 e I_1 \cap I_2=\emptyset.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.






Document