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Limiti di sottosuccessioni

Teoria sulle Successioni

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Se una successione ha limite, cosa si può dire dei limiti di sue sottosuccessioni? In questo breve articolo esaminiamo il risultato che risponde a tale domanda, affermando che ogni estratta di una successione che ha limite possiede lo stesso limite.
Questo teorema è particolarmente importante nelle applicazioni in quanto viene spesso utilizzato come criterio per provare che una successione non ha limite: se infatti si esibiscono due sottosuccessioni che hanno limite diverso, allora per il risultato qui menzionato la successione di partenza non poteva avere limite.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

 

Teorema 1. Sia \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} una successione avente limite \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Allora ogni sua estratta ha lo stesso limite.

 
Dimostrazione. Mostriamo preliminarmente che per ogni funzione

    \begin{equation*} \begin{split} &n\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ &\,\quad k\mapsto n_k \end{split} \end{equation*}

crescente di numeri naturali, si ha che

(1)   \begin{equation*} n_k\geq k\qquad\qquad\forall k\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Dimostriamo (1) usando il principio di induzione sui termini della successione n_k:

  • Passo base (k=0): si ha n_k\geq 0 perché per ipotesi \{n_k\} è una successione di numeri naturali.
  • Passo induttivo: Supponiamo che l’affermazione sia vera per un certo k, ovvero n_k \geq k. Dobbiamo dimostrare che essa è valida anche per k+1. Dall’ipotesi induttiva e dal fatto che \{n_k\} è strettamente crescente, abbiamo che

        \begin{equation*} n_{k+1} > n_k \geq k \quad\Rightarrow\quad n_{k+1} > k \quad\Rightarrow\quad n_{k+1} \geq k + 1, \end{equation*}

    il che completa il passo induttivo e conferma la validità dell’asserzione per ogni k.

Consideriamo adesso una sottosuccessione \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} della successione \{a_n\} e un intorno I del limite \ell.1 Dato che la successione \{a_n\} converge a \ell, possiamo affermare l’esistenza di un N \in \mathbb{N} tale che

(2)   \begin{equation*} a_n \in I \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Sfruttando la relazione (1), sappiamo che n_k \geq k per ogni k \in \mathbb{N}. Questo implica che per ogni k \geq N, n_k sarà anch’esso maggiore o uguale a N. Di conseguenza, dalla (2), otteniamo

(3)   \begin{equation*} a_{n_k} \in I \quad \forall k \geq N. \end{equation*}

L’arbitrarietà nella scelta dell’intorno I e la proprietà appena dimostrata ci permettono di concludere che la sottosuccessione \{a_{n_k}\} converge effettivamente a \ell.
 
Esempio 2. Questo teorema è estremamente utile per mostrare che alcune successioni non hanno limite. Prendiamo ad esempio a_n=(-1)^n e consideriamo le due sottosuccessioni

    \begin{equation*} b_k=(-1)^{2k},\qquad\qquad\qquad c_k=(-1)^{2k+1}. \end{equation*}

Si ha che

    \begin{equation*} \lim_{k \rightarrow + \infty } b_k=1,\qquad\qquad\qquad \lim_{k \rightarrow + \infty } c_k=-1, \end{equation*}

in quanto b_k=1 e c_k=-1 per ogni k\in\mathbb{N}. Allora possiamo concludere che il limite della successione a_n non esiste, perchè se per assurdo esistesse allora ogni estratta dovrebbe convergere a tale limite.
 
 

    \[\]

  1. Si ricorda che, se \ell \in \mathbb{R}, I include un intervallo del tipo (\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon) con \varepsilon > 0. Nel caso in cui \ell = +\infty, I comprende una semiretta del tipo (M, +\infty) con M \in \mathbb{R}, e per \ell = -\infty, I include una semiretta (-\infty, M). ↩

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.






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