Teorema della permanenza del segno per le successioni

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Il teorema della permanenza del segno è un importante risultato della teoria dei limiti delle successioni che afferma che il segno del limite di una successione implica che, definitivamente, i termini della successione possiedono lo stesso segno. In questo articolo analizziamo il teorema e una sua generalizzazione, oltre a una sua versione contronominale, che però risulta utile esplicitare per l’utilizzo nelle applicazioni.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (della permanenza del segno). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione.

Se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=\ell>0,$ allora esiste $N\in\mathbb{N}$ tale che $a_n>0$ per ogni $n>N$ , ossia $a_n>0$ definitivamente.
Se $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=\ell<0,$ allora esiste $N\in\mathbb{N}$ tale che $a_n<0$ per ogni $n>N$ , ossia $a_n<0$ definitivamente.

Il teorema stabilisce che, se il limite di una successione è strettamente positivo, allora la successione sarà definitivamente composta da termini positivi.

Dimostrazione. Mostriamo solo il caso $\ell>0$ , in quanto l’altro caso è analogo o si ottiene, ad esempio, considerando la successione $-a_n$ .

Caso $\ell \in(0,+\infty)$ . Consideriamo l’intorno $I=\left(\ell-\frac{\ell}{2},\,\ell+\frac{\ell}{2}\right)$ di $\ell$ ; allora dalla definizione di limite di successione, esiste $N$ tale che $a_n\in I$ per ogni $n>N$ , ovvero

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