Prodotto di successioni limitate e infinitesime

Home » Prodotto di successioni limitate e infinitesime

In questo articolo presentiamo il teorema sul limite del prodotto di successioni limitate e infinitesime. Il teorema sul limite del prodotto di successioni afferma infatti che, se $a_n \to 0$ e $b_n \to \ell$ con $\ell \in \mathbb{R}$ , allora il prodotto $a_n b_n \to 0$ . In realtà, la conclusione vale sotto ipotesi più deboli, ossia è sufficiente che $b_n$ sia limitata.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1. Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni tali che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0 \end{equation*}$

e $b_n$ limitata. Allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n\cdot b_n=0. \end{equation*}$

Dimostrazione. Per ipotesi $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è una successione limitata, quindi esiste $M>0$ tale che $|b_n|<M$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ , mentre la successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è infinitesima, quindi fissato un valore $\varepsilon>0$ , esiste $N>0$ tale che