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Prodotto di successioni limitate e infinitesime

Teoria sulle Successioni

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In questo articolo presentiamo il teorema sul limite del prodotto di successioni limitate e infinitesime. Il teorema sul limite del prodotto di successioni afferma infatti che, se a_n \to 0 e b_n \to \ell con \ell \in \mathbb{R}, allora il prodotto a_n b_n \to 0. In realtà, la conclusione vale sotto ipotesi più deboli, ossia è sufficiente che b_n sia limitata.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Teorema 1. Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni tali che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0 \end{equation*}

e b_n limitata. Allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n\cdot b_n=0. \end{equation*}

 

Dimostrazione. Per ipotesi \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} è una successione limitata, quindi esiste M>0 tale che |b_n|<M per ogni n\in\mathbb{N}, mentre la successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è infinitesima, quindi fissato un valore \varepsilon>0, esiste N>0 tale che

    \begin{equation*} |a_n|<\frac{\varepsilon}{M}\qquad\forall n>N. \end{equation*}

Quindi, per n>N

    \begin{equation*} |a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot |b_n|<\frac{\varepsilon}{M}\cdot M=\varepsilon, \end{equation*}

ovvero la successione \{a_n\cdot b_n\} è anch’essa infinitesima.
 
Esempio 2. Calcoliamo il limite

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sin n}{n}. \end{equation*}

Definendo le successioni a_n = \frac{1}{n} e b_n = \sin n, si ha che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \quad \text{e} \quad |\sin n| \leq 1 \quad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

In virtù del teorema 1, possiamo concludere che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n \cdot \sin n = 0. \end{equation*}

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.






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