Teoremi del confronto per le successioni

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I teoremi del confronto sono particolarmente utili nella teoria dei limiti: spesso infatti risulta arduo calcolare esplicitamente un limite, ma spesso ci si può ricondurre a confrontare, mediante disuguaglianze, il limite richiesto con altri limiti, più semplici da calcolare. In quest’ottica, i teoremi di confronto sono uno strumento essenziale da tenere presente nella risoluzione dei limiti.
In questo articolo presentiamo due versioni del teorema: una conosciuta con l’eloquente nome di “teorema dei carabinieri”, l’altra più specifica per limiti infiniti, per il quale occorrono ipotesi leggermente meno restrittive.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Il teorema del confronto è un principio fondamentale dell’Analisi Matematica che assume diverse forme a seconda del contesto. Esso permette di determinare il limite di una successione $b_n$ confrontandola con altre due successioni $a_n$ e $c_n$ aventi lo stesso limite $\ell$ e che la limitano dal basso e dall’alto. Conosciuto informalmente come il teorema dei due carabinieri, l’analogia descrive le successioni $a_n$ e $c_n$ come carabinieri che “convergono” verso lo stesso punto, costringendo necessariamente anche la successione $b_n$ , il prigioniero, a fare altrettanto.

Teorema 1 (del confronto o dei carabinieri). Siano $a_n, b_n, c_n$ successioni, si supponga che esista $N_1\in\mathbb{N}$ tale che

(1) $\begin{equation*} a_n \leq b_n \leq c_n, \;\;\; \forall n \geq N_1 \end{equation*}$

e che valga

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \ell \in \mathbb{R}.$

Allora

$\lim_{n \to \infty} b_n = \ell .$

Dimostrazione. Per dimostrare il teorema, consideriamo un qualsiasi $\varepsilon > 0$ e mostriamo che esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $\ell - \varepsilon \leq b_n \leq \ell + \varepsilon$ per tutti gli $n \geq N$ . Fissato un $\varepsilon$ arbitrario, dalla definizione di limite e dall’ipotesi che