Operazioni con i limiti di successioni

Teoria sulle Successioni

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In questo articolo esamineremo le relazioni tra le operazioni algebriche sulle successioni e i rispettivi limiti. Vedremo che, sotto determinate ipotesi, potremo concludere che i valori dei limiti sono conservati dalle operazioni effettuate, con le dovute eccezioni. Infatti, quando le operazioni effettuate danno luogo alle cosiddette forme indeterminate, non è possibile determinare a priori il risultato del limite, ma occorre esaminare il caso specifico con altri strumenti.
L’articolo, nonostante sia pensato per una consultazione veloce, contiene tutte le informazioni necessarie per chiarirsi i dubbi su questo tema così importante dell’Analisi Matematica ed è quindi particolarmente indicato per studenti universitari e appassionati.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1. Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni convergenti

$\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=a,\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=b,\qquad\text{ con } a,\,b\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Allora

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}|a_n|=|a|$ ;
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b$ ;

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$ ;
Se $\displaystyle b\neq 0$ si ha $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}.$

Dimostrazione punto 1.

Per l’ipotesi di convergenza della successione si ha che per ogni $\varepsilon>0$

$\begin{equation*} \exists N>0\,\,:\,\, |a_n-a|<\varepsilon\qquad\forall n>N. \end{equation*}$

Allora, per la disuguaglianza triangolare,

$\begin{equation*} ||a_n|-|a||\leq |a_n-a|<\varepsilon\qquad\forall n>N, \end{equation*}$

quindi possiamo concludere che $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}|a_n|=|a|$ .

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