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Operazioni con i limiti di successioni

Teoria sulle Successioni

Home » Operazioni con i limiti di successioni

In questo articolo esamineremo le relazioni tra le operazioni algebriche sulle successioni e i rispettivi limiti. Vedremo che, sotto determinate ipotesi, potremo concludere che i valori dei limiti sono conservati dalle operazioni effettuate, con le dovute eccezioni. Infatti, quando le operazioni effettuate danno luogo alle cosiddette forme indeterminate, non è possibile determinare a priori il risultato del limite, ma occorre esaminare il caso specifico con altri strumenti.
L’articolo, nonostante sia pensato per una consultazione veloce, contiene tutte le informazioni necessarie per chiarirsi i dubbi su questo tema così importante dell’Analisi Matematica ed è quindi particolarmente indicato per studenti universitari e appassionati.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Teorema 1. Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni convergenti

    \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=a,\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=b,\qquad\text{ con } a,\,b\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Allora

  1. \displaystyle\lim_{n\to+\infty}|a_n|=|a|;
  2. \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b;

  3. \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b;
  4. Se \displaystyle b\neq 0 si ha \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}.

Dimostrazione punto 1.

Per l’ipotesi di convergenza della successione si ha che per ogni \varepsilon>0

    \begin{equation*} \exists N>0\,\,:\,\, |a_n-a|<\varepsilon\qquad\forall n>N. \end{equation*}

Allora, per la disuguaglianza triangolare,

    \begin{equation*} ||a_n|-|a||\leq |a_n-a|<\varepsilon\qquad\forall n>N, \end{equation*}

quindi possiamo concludere che \displaystyle\lim_{n\to+\infty}|a_n|=|a|.

Dimostrazione punto 2.

Dimostriamo che \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=a+b. Per ipotesi di convergenza delle successioni si ha che per ogni \varepsilon>0

(1)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\exists n _1>0\,: \, \,\, \left \vert a_n-a\right \vert<\frac{\varepsilon}{2} &\forall n>n_1,\\ &\exists n_2>0\,:\,\,\, \left \vert b_n-b\right \vert<\frac{\varepsilon}{2} &\forall n>n_2.\\ \end{aligned} \end{equation*}

Ponendo N=\max\{n_1,n_2\} si ha che per ogni n>N

(2)   \begin{equation*} |a_n+b_n-(a+b)|\leq |a_n-a|+|b_n-b|{<}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \end{equation*}

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare e la seconda disuguaglianza segue da (1). La stessa argomentazione si applica analogamente alla dimostrazione per la differenza.

Dimostrazione punto 3.

Dato che la successione è convergente, essa è limitata, ovvero esiste M>0 tale che

    \begin{equation*} |a_n|\leq M\qquad\forall n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Fissiamo \varepsilon>0 e definiamo n_1 e n_2 che soddisfino (1). Ponendo N=\max\{n_1,n_2\} per ogni n>N si ha

    \begin{equation*} |a_n b_n-a b|=|a_nb_n-a_nb+a_n b -a b|\leq |a_n(b_n-b)|+|b(a_n-a)|\leq M|b_n-b|+|b||a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}(M+|b|). \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \varepsilon la tesi è dimostrata.

Dimostrazione punto 4.

Mostriamo che la successione \frac{1}{b_n} converge a \frac{1}{b}; ciò, insieme al punto 3 concluderà la dimostrazione.

  • b_n^{-1} esiste definitivamente. Osserviamo innanzitutto che esiste N_1 \in \mathbb{N} tale che \frac{1}{b_n} esiste per ogni n \geq N. Infatti, poiché b \neq 0 fissiamo \varepsilon>0 tale che 0 \notin (b-\varepsilon,b+\varepsilon); per la definizione di limite di successione, esiste N_1 \in \mathbb{N} tale che b_n \in (b-\varepsilon,b+\varepsilon). Pertanto, per come abbiamo scelto \varepsilon,

    (3)   \begin{equation*} b_n \neq 0 \qquad \forall n \geq N_1, \end{equation*}

    quindi \frac{1}{b_n} è ben definita per ogni n \geq N.

  • b_n^{-1} \to {b}^{-1}. Si fissi \varepsilon>0. Poiché b_n \to b, per il punto 1 si ha |b_n| \to |b|. Pertanto, considerando gli intorni (b-\varepsilon,b+\varepsilon) e \left ( \frac{|b|}{2}, 2 |b| \right ) rispettivamente di b e |b|1, per la definizione di limite di successione, esiste N \geq N_1 tale che

    (4)   \begin{equation*} |b_n - b|< \varepsilon \quad \text{e} \quad |b_n| \geq \frac{|b|}{2} \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}

    Si ha quindi

    (5)   \begin{equation*} \left | \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right | = \frac{|b-b_n|}{|b_n b|} \leq \frac{2}{|b|^2} \varepsilon \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}

    Per l’arbitrarietà di \varepsilon, segue che \frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}.

 

Risultati analoghi si hanno quando una o entrambe le successioni sono divergenti.
 

Teorema 2. Sono valide le seguenti proprietà.

 

  1. Se a_n\to +\infty e b_n è limitata inferiormente (in particolare se b_n \to \ell \neq -\infty), allora

    (6)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} (a_n+b_n)=+\infty. \end{equation*}

    Un risultato analogo vale se a_n\to -\infty e b_n è limitata superiormente.

    2.  

  2. Se \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty e \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell \neq 0, allora

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n\cdot b_n=\operatorname{sgn}(\ell) \cdot (+\infty).\]

    Un risultato analogo vale se a_n \to -\infty.

    3.  

  3. Se \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\pm\infty e b_n è una successione limitata, allora \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{b_n}{a_n}=0.

    4.  

  4. Se \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0 con a_n\neq 0 definitivamente e b_n è una successione tale che esista \beta>0 con b_n>\beta definitivamente, allora

        \[\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{b_n}{a_n}=+\infty.\]

    Valgono risultati analoghi per le variazioni di segno di a_n e b_n.

 

In generale non possiamo concludere niente nei casi che non rientrano nella tabella precedente e cioè per le cosiddette forme indeterminate, che saranno oggetto di studio dei successivi paragrafi:

    \begin{equation*} \left[\infty - \infty\right], \quad \left[0 \cdot \infty\right], \quad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \quad \left[\frac{0}{0}\right]. \end{equation*}

Per esempio, quando diciamo che \left[+\infty - \infty\right] è una forma indeterminata, intendiamo che se a_n \to +\infty e b_n \to -\infty, non possiamo dedurre in modo immediato quale sarà il comportamento limite della successione a_n + b_n. Questa potrebbe convergere verso un qualsiasi elemento di \overline{\mathbb{R}} o potrebbe anche non avere limite. La determinazione dell’esistenza e del valore di un eventuale limite per a_n + b_n richiede un’analisi dettagliata del caso specifico, come illustrato nell’esempio seguente.

 

Esempio 3 (forma indeterminata +\infty - \infty).
Ci accingiamo a mostrare che, se le successioni a_n e b_n divergono rispettivamente a +\infty e -\infty, la successione a_n+b_n può divergere positivamente, oppure divergere negativamente, oppure avere come limite un qualsiasi numero reale, oppure non avere limite.

  1. Consideriamo le successioni definite da

    (7)   \begin{equation*} a_n = 2n, \quad b_n=-n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

    Per quanto visto precedentemente, vale a_n \to + \infty e b_n \to - \infty. Si ha

    (8)   \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to + \infty} (2n-n) = \lim_{n \to + \infty} n = +\infty. \end{equation*}

  2. Analogamente, se

    (9)   \begin{equation*} a_n = n, \quad b_n=-2n \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}

    vale (a_n + b_n) \to - \infty.

  3. Consideriamo ora

    (10)   \begin{equation*} a_n = n + 7, \quad b_n=-n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

    Di nuovo abbiamo a_n \to + \infty e b_n \to - \infty, ma

    (11)   \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to + \infty} (n + 7 -n) = \lim_{n \to + \infty} 7 = 7, \end{equation*}

    quindi in questo caso a_n + b_n ha limite finito. Chiaramente il numero 7 è arbitrario e al suo posto può essere scelto qualsiasi numero reale.

  4. Studiamo infine il caso

    (12)   \begin{equation*} a_n = n + (-1)^n, \quad b_n=-n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

    Si ha a_n \geq n-1 per ogni n \in \mathbb{N}, quindi vale a_n \to + \infty e b_n \to - \infty, ma

    (13)   \begin{equation*} a_n + b_n = n + (-1)^n -n = (-1)^n \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}

    che non ha limite.

 
 

    \[\]

  1. l’intervallo \left ( \frac{|b|}{2}, 2 |b| \right ) è non vuoto dato che b \neq 0. ↩

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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