Limitatezza delle successioni convergenti

Se una successione ha limite finito, si può dire che è limitata? In altre parole, cosa possiamo affermare sulla limitatezza delle successioni convergenti?
In questo breve articolo rispondiamo affermativamente a questa domanda, dimostrando che ogni successione convergente è limitata. Inoltre, mostriamo con un classico esempio che il viceversa di tale teorema è falso: esistono cioè successioni limitate che non sono convergenti. Infine, trattiamo una generalizzazione del teorema al caso delle successioni aventi limiti infiniti.
L’articolo è quindi adatto a chi muove i primi passi nella teoria delle successioni, sia egli uno studente di un corso di Analisi Matematica 1 o un semplice appassionato che voglia chiarirsi un dubbio sulla limitatezza delle successioni convergenti.

Oltre alle raccolte di esercizi

• Limiti di successioni – Esercizi misti 1,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 2,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 3,
• Numero di Nepero: esercizi sul limite notevole,

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

• Criterio del rapporto per le successioni;
• Criterio della radice;
• Definizione e proprietà del numero di Nepero;
• Successioni di Cauchy;
• Teorema di Bolzano-Weierstrass;
• Il teorema ponte.

Buona lettura!

Autori e revisori

Teorema 1. Una successione convergente è limitata.

Dimostrazione. Consideriamo una successione che converge a e sia un intorno di . In base alla definizione di limite, esiste tale che

(1)

Da ciò, deduciamo che