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Limitatezza delle successioni convergenti

Teoria sulle Successioni

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Se una successione ha limite finito, si può dire che è limitata? In altre parole, cosa possiamo affermare sulla limitatezza delle successioni convergenti?
In questo breve articolo rispondiamo affermativamente a questa domanda, dimostrando che ogni successione convergente è limitata. Inoltre, mostriamo con un classico esempio che il viceversa di tale teorema è falso: esistono cioè successioni limitate che non sono convergenti. Infine, trattiamo una generalizzazione del teorema al caso delle successioni aventi limiti infiniti.
L’articolo è quindi adatto a chi muove i primi passi nella teoria delle successioni, sia egli uno studente di un corso di Analisi Matematica 1 o un semplice appassionato che voglia chiarirsi un dubbio sulla limitatezza delle successioni convergenti.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

 

Teorema 1. Una successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} convergente è limitata.

 

Dimostrazione. Consideriamo una successione \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} che converge a \ell \in \mathbb{R} e sia I_\varepsilon(\ell) = (\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon) un intorno di \ell. In base alla definizione di limite, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(1)   \begin{equation*} |a_n - \ell| < \varepsilon \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Da ciò, deduciamo che

(2)   \begin{equation*} |a_n| = |a_n - \ell + \ell| \leq |a_n - \ell| + |\ell| < \varepsilon + |\ell| \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Definiamo poi

(3)   \begin{equation*} M_1 \coloneqq \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|\}, \end{equation*}

che esiste in quanto si tratta di un insieme finito di termini. Ponendo M \coloneqq \max\{|\ell| + \varepsilon, M_1\}, dalle equazioni (2) e (3) segue che

(4)   \begin{equation*} |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}

dimostrando che la successione a_n è limitata.
 
 
Limitatezza delle successioni convergenti
 

Figura 1: dimostrazione del teorema 1, che per semplicità abbiamo illustrato relativamente a una successione a termini positivi convergente a \ell. Poiché per ogni n \geq 6 si ha a_n \leq \ell+\varepsilon e i termini \{a_1,\dots,a_5\} sono limitati da M_1=a_4, la successione è limitata.

 
 

Esempio 2 (successione che non ammette limite). Possiamo dimostrare con un esempio che non vale il viceversa del teorema precedente, ovvero non è vero che una successione limitata è convergente. Consideriamo la successione di termine n-esimo

    \[a_n=(-1)^n\qquad\forall n\in\mathbb{N},\]

questa è ovviamente limitata; infatti

    \begin{equation*} |a_n|=\left|(-1)^n\right|\leq 1\qquad\forall n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

ma essa non è convergente in quanto le due sottosuccessioni a_{2n}=1 e a_{2n+1}=-1 hanno limiti distinti.

 

Il teorema 1 stabilisce che ogni successione convergente è necessariamente limitata. Al contrario, se una successione diverge positivamente, ne consegue che è illimitata superiormente. Tuttavia, adottando un approccio analogo a quello utilizzato nella dimostrazione del teorema 1, possiamo dimostrare che tale successione divergente è limitata inferiormente.

 

Teorema 3. Sia \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} una successione tale che

(5)   \begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} a_n=+\infty, \end{equation*}

allora essa è limitata inferiormente. Analogamente, se

(6)   \begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} a_n=-\infty, \end{equation*}

allora essa è limitata superiormente.

 

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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