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Successioni asintotiche

Teoria sulle Successioni

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La nozione di successioni asintotiche formalizza l’idea di successioni che sono “uguali al limite”. Infatti, nonostante i primi termini delle successioni a_n e b_n possano essere molto diversi, se vale \lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1, ciò vuol dire che, al crescere di n, i termini a_n e b_n diventano “sempre più vicini”, confondendosi al limite. Tale proprietà si traduce in alcune equivalenze nel calcolo dei limiti.
In questo articolo presentiamo questo concetto, oltre alla nozione collegata di o-piccolo, che invece formalizza l’idea di una successione i cui termini siano “trascurabili”, al limite, rispetto a quelli di un’altra.
L’articolo è quindi particolarmente indicato per appassionati e studenti dei corsi di Laurea scientifici che desiderano prepararsi per l’esame di Analisi Matematica 1.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Definizione 1 (successioni asintotiche). Due successioni \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} di numeri reali con b_n\neq 0 definitivamente, si dicono asintotiche se

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}

In tal caso scriveremo che a_n\sim b_n per n\rightarrow +\infty.

Esempio 2. Consideriamo la successione polinomiale a_n, definita come

(1)   \begin{equation*} a_n=\sum_{k=0}^{p}c_k n^k\qquad\forall n\in\mathbb{N}, \end{equation*}

dove p>0 e c_p\neq 0. In questo caso, si può affermare che a_n è asintoticamente equivalente a c_p n^p. Infatti:

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{c_p n^p+c_{p-1} n^{p-1}+\dots+ c_1 n+c_0}{c_p n^p}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\cancel{ n^p}\left(c_p+\frac{c_{p-1}}{n}+\dots+ \frac{c_1}{n^{p-1}}+\frac{c_0}{n^p}\right)}{c_p \cancel{n^p}}=1. \end{equation*}

Questo metodo di analisi può essere esteso a successioni simili a quella definita in (1) ma con esponenti razionali, dimostrando che la successione si comporta asintoticamente come la potenza di n con l’esponente più alto.

 
La precedente discussione serve a confrontare successioni che assumono un comportamento simile per n \to +\infty. Risulta molto utile introdurre una ulteriore notazione per indicare invece che una successione a_n è trascurabile rispetto a un’altra successione b_n al limite per n \to +\infty.
 

Definizione 3 (o-piccolo). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni a valori in \mathbb{R} tale che b_n\neq 0 definitivamente. Diremo che a_n è o-piccolo di b_n se vale

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=0. \end{equation*}

In tal caso scriveremo che a_n=o(b_n) per n\rightarrow +\infty.

 
Osservazione 4. Se a_n è una successione infinitesima, allora a_n=o(1), infatti

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0\Rightarrow \,\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{1}=0. \end{equation*}

 
Quindi dire che una successione a_n è un o-piccolo di b_n vuol dire che la successione a_n risulta in qualche maniera trascurabile rispetto alla successione b_n.

Il prossimo risultato chiarisce come due successioni asintotiche siano essenzialmente equivalenti nel calcolo di un limite.

Teorema 5 (proprietà delle successioni asintotiche). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni; allora valgono le seguenti proprietà.

  1. Se a_n\sim b_n e \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell\in\mathbb{R}, allora \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\ell\in\mathbb{R}.
  2. Se a_n\sim b_n e b_n\sim c_n, allora a_n\sim c_n.

  3. (Principio di sostituzione.) Siano a_n, b_n, c_n\neq 0 definitivamente; se a_n\sim b_n, allora per ogni successione c_n si ha

        \begin{equation*} a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n,\qquad\frac{a_n}{c_n}\sim \frac{b_n}{c_n},\qquad\frac{c_n}{a_n}\sim\frac{c_n}{b_n}. \end{equation*}

 
Dimostrazione.

  1. Poiché a_n e b_n sono due successioni asintotiche è sufficiente notare che

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}\cdot b_n=1\cdot \ell=\ell. \end{equation*}

  2. Per le stesse proprietà

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{c_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}\cdot\frac{b_n}{c_n}=1\cdot 1=1. \end{equation*}

  3. Il principio di sostituzione è una semplice conseguenza della definizione di successioni asintotiche:

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n\cdot c_n}{b_n\cdot c_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1, \end{equation*}

    quindi a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n. Analogamente

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{a_n}{c_n}}{\frac{b_n}{c_n}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{c_n}\cdot \frac{c_n}{b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}

    Infine

        \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{c_n}{a_n}}{\frac{c_n}{b_n}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{c_n}{a_n}\cdot \frac{b_n}{c_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{b_n}{a_n}=1. \end{equation*}

 
Osservazione 6. Non vale il viceversa della prima proprietà descritta dal teorema precedente, ovvero esistono delle successioni che hanno lo stesso limite, ma non sono asintotiche, ad esempio se consideriamo a_n=n^2 e b_n=n. Sappiamo che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=\lim_{n \rightarrow +\infty} b_n=+\infty, \end{equation*}

ma

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2}{n}=\lim_{n \to \infty} n=+\infty, \end{equation*}

quindi le due successioni non sono asintotiche.
 
Seguono alcuni esempi di calcolo di limiti di successioni fratte che hanno come ulteriore obiettivo quello di mostrare come la forma \frac{\infty}{\infty} sia indeterminata.

 

Esempio 7. Calcoliamo

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n^2+4}{2n^2+3}. \end{equation*}

Dall’esempio 2 sappiamo che n^2+4\sim n^2 e 2n^2+3\sim 2n^2; allora per il principio di sostituzione 3 nel teorema 5

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n^2+4}{2n^2+3}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2}{2n^2}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \end{equation*}

 
Esempio 8. Calcoliamo

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n^3+2n+1}{4n^4+4n^2+3}. \end{equation*}

Dall’esempio 2 sappiamo che n^3+2n+1\sim n^3 e 4n^4+4n^2+3\sim 4n^4; allora grazie al principio di sostituzione 3 nel teorema 5

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n^3+2n+1}{4n^4+4n^2+3}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^3}{4n^4}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{4n}=0. \end{equation*}

 
Esempio 9. Calcoliamo

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n+4+3n\sqrt{n}}{2n-4\sqrt{n}+3}. \end{equation*}

Poiché n\sqrt{n}=n\cdot n^{1/2}=n^{3/2}, allora sempre per l’esempio 2 possiamo concludere che n+4+3n\sqrt{n}\sim 3n\sqrt{n} e 2n-4\sqrt{n}+3\sim 2n. Grazie al principio di sostituzione 3 del teorema 5

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n+4+3n\sqrt{n}}{2n-4\sqrt{n}+3}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{3n\sqrt{n}}{2n}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{3\sqrt n}{2}=+\infty. \end{equation*}

 
Osservazione 10. Possiamo quindi concludere che se a_n e b_n sono due funzioni polinomiali di grado rispettivamente h e k, allora

    \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty}\frac{a_n}{b_n}=\begin{cases} 0&\text{ se }h<k\\ \infty&\text{ se }h>k\\ \frac{a_h}{b_k}&\text{ se }h=k. \end{cases} \end{equation*}

Come illustrato nell’esempio 2, questo ragionamento può essere generalizzato anche per le successioni che contengono potenze di n con esponenti razionali.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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