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Caratterizzazione dei punti di accumulazione

Teoria sulle Successioni

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Il limite \ell di una successione a_n è quindi il valore verso cui “si accumulano” tutti i valori assunti da a_n. Risulta quindi naturale indagare la relazione tra i punti di accumulazione di un insieme A e i limiti delle successioni a valori in A. In questo articolo mostriamo infatti che un punto x_0 è di accumulazione per un insieme A se e solo se esiste una successione a_n a valori in A che ha limite x_0.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

 

Proposizione 1 (caratterizzazione dei punti di accumulazione). Sia A \subseteq \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. x_0 è un punto di accumulazione per A;

  2. esiste una successione \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A \setminus \{x_0\} tale che

    (1)   \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n = x_0. \end{equation*}

 

Dimostrazione. Mostriamo l’equivalenza mediante una doppia implicazione.

  • 1 ⇒ 2. Consideriamo per ogni n\in\mathbb{N} con n\neq 0 l’intorno circolare di x_0 di raggio \delta=\frac{1}{n}

        \begin{equation*} I_\frac{1}{n}(x_0)=\left(x_0-\frac{1}{n},\,x_0+\frac{1}{n}\right). \end{equation*}

    Poiché x_0 è un punto di accumulazione per l’insieme A, allora l’intorno I_\frac{1}{n}(x_0) contiene almeno un elemento a_n\in A diverso da x_0:

    (2)   \begin{equation*} x_0-\frac{1}{n}<a_n<x_0+\frac{1}{n}. \end{equation*}

    Abbiamo creato una successione a_n a valori in A che converge a x_0 per il teorema del confronto, visto che le due successioni x_0-\frac{1}{n} e x_0+\frac{1}{n} convergono entrambe a x_0.

  • 2 ⇒ 1. Per ipotesi a_n è una successione di valori nell’insieme A\setminus\{x_0\} che converge a x_0, quindi per definizione di limite per ogni intorno I di x_0, esiste N \in \mathbb{N} tale che

    (3)   \begin{equation*} a_n \in I \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}

    Quindi ogni intorno I di x_0 contiene almeno un elemento dell’insieme A diverso da x_0, ovvero x_0 è un punto di accumulazione.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.






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