Caratterizzazione dei punti di accumulazione

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Il limite $\ell$ di una successione $a_n$ è quindi il valore verso cui “si accumulano” tutti i valori assunti da $a_n$ . Risulta quindi naturale indagare la relazione tra i punti di accumulazione di un insieme $A$ e i limiti delle successioni a valori in $A$ . In questo articolo mostriamo infatti che un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $A$ se e solo se esiste una successione $a_n$ a valori in $A$ che ha limite $x_0$ .

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Proposizione 1 (caratterizzazione dei punti di accumulazione). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ . Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ ;

esiste una successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A \setminus \{x_0\}$ tale che
(1) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n = x_0. \end{equation*}$

Dimostrazione. Mostriamo l’equivalenza mediante una doppia implicazione.

1 ⇒ 2. Consideriamo per ogni $n\in\mathbb{N}$ con $n\neq 0$ l’intorno circolare di $x_0$ di raggio $\delta=\frac{1}{n}$
$\begin{equation*} I_\frac{1}{n}(x_0)=\left(x_0-\frac{1}{n},\,x_0+\frac{1}{n}\right). \end{equation*}$

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