Limiti di successioni – Esercizi misti 1

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Benvenuti nel primo volume della nostra raccolta di esercizi sulle successioni. In questo articolo riportiamo 22 esercizi sui limiti di successioni, risolti mediante l’uso di tecniche miste. Gli esercizi sono completamente svolti, per offrire una comprensione completa delle strategie utilizzate. Questo articolo è quindi particolarmente indicato per chi desidera approfondire la sua conoscenza dei limiti di successioni.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento nella cartella di Teoria sulle successioni.

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa presenta una serie di esercizi sul calcolo dei limiti delle successioni, utilizzando diversi metodi di risoluzione. Alcuni limiti sono calcolati tramite limiti notevoli, come quello che definisce il numero di Nepero, mentre in altri casi si fa ricorso ai simboli di Landau, che permettono di semplificare le espressioni eliminando i termini trascurabili. Viene anche utilizzata la tecnica del confronto all’infinito e il teorema dei carabinieri per determinare il limite di certe successioni. Viene proposto anche un esercizio in cui la successione non ammette limite, esplicitando due sottosuccessione che ammettono limiti diversi.

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Autori e revisori dell’articolo

Mostra autori e revisori.

Autori: Donato Ciampa, Valerio Brunetti.

Revisori: Giulio Binosi, Matteo Talluri.

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Introduzione

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In questa dispensa sono presentati esercizi dedicati al calcolo dei limiti di varie successioni. Gli esercizi coprono una vasta gamma di casi e situazioni, permettendo di esplorare vari aspetti del tema. Inoltre, è fornito un richiamo alla teoria fondamentale necessaria per affrontare questi problemi. Per una comprensione approfondita e completa della teoria, si consiglia di consultare le pagine specifiche Criterio del rapporto, Numero di Nepero, Successioni monotone, Successioni di Cauchy dedicata agli argomenti teorici.

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Richiami di teoria

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Definizione 1.1 (successione).Una successione $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori reali è una funzione

(1) $\begin{align*} a \colon \mathbb{N} & \to \mathbb{R}\\ n & \mapsto a_n=a(n) \end{align*}$

Solitamente, l’immagine $a(n)$ viene indicata col simbolo $a_n$ ed è detta termine $n$ -esimo della successione. Quando non vi sia possibilità di equivoco, una successione si denoterà semplicemente indicando il suo termine generale $a_n$ .

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Definizione 1.2 (successioni monotone). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a valori in $\mathbb{R}$ . Diremo che

$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è crescente se $a_{n+1}\geq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è strettamente crescente se $a_{n+1}> a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è decrescente se $a_{n+1}\leq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è strettamente decrescente se $a_{n+1}< a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$

La successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ è detta monotona se rientra in uno dei casi precedenti.

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Definizione 1.3 (limiti di successioni). Sia $a_n$ una successione reale e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ , dove $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ . Si dice che $a_n$ ha limite $\ell$ oppure tende a $\ell$ se, per ogni intorno $I$ di $\ell$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(2) $\begin{equation*} a_n \in I \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(3) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n=\ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} \ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \to \ell. \end{equation*}$

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Se $\ell \in \mathbb{R}$ , $a_n$ si dice convergente a $\ell$ . Se $\ell=0$ , $a_n$ si dice anche infinitesima .
Se $\ell \in \{-\infty,+\infty\}$ , $a_n$ si dice divergente a $\ell$ .

Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari , mentre le successioni che non ammettono limite si dicono non regolari.

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Teorema 1.4. (unicità del limite). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione tale che

$\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}; \end{equation*}$

allora tale limite è unico.

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Teorema 1.5 (prodotto di successioni limitate per infinitesime). Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni tali che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0 \end{equation*}$

e $b_n$ limitata. Allora

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n\cdot b_n=0. \end{equation*}$

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Teorema 1.6 (del confronto). Siano $a_n, b_n, c_n$ successioni, si supponga che esista $N_1\in\mathbb{N}$ tale che

(4) $\begin{equation*} a_n \leq b_n \leq c_n, \;\;\; \forall n \geq N_1 \end{equation*}$

e che valga

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \ell \in \mathbb{R}.$

Allora

$\lim_{n \to \infty} b_n = \ell .$

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Teorema 1.7 (del confronto: $\ell=\pm \infty$ ). Siano $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ due successioni e supponiamo che esista $N_1 \in \mathbb{N}$ tale che

(5) $\begin{equation*} a_n \leq b_n \qquad \forall n \geq N_1. \end{equation*}$

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Se $a_n \to +\infty$ , allora $b_n \to + \infty$ .
Se $b_n \to - \infty$ , allora $a_n \to - \infty$ .

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Proposizione 1.8. Si ha

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{x}{n}\right )^n=e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Inoltre, se $x>0$ , la successione $\left (1+\frac{x}{n}\right )^n$ è crescente.

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Teorema 1.9 (criterio del rapporto). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a termini positivi tale che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell. \end{equation*}$

Allora

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se $\ell>1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,$
se $\ell<1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.$

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Teorema 1.10 (criterio della radice). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a termini positivi tale che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\ell. \end{equation*}$

Allora

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se $\ell>1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,$
se $\ell<1$ si ha che
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.$

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Definizione 1.11. (successioni asintotiche). Due successioni $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ di numeri reali con $b_n\neq 0$ definitivamente, si dicono asintotiche se

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}$

In tal caso scriverempo che $a_n\sim b_n$ per $n\rightarrow +\infty$ .

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Teorema 1.12 (proprietà delle successioni asintotiche). Siano $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ e $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ due successioni; allora valgono le seguenti proprietà:

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se $a_n\sim b_n$ e $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell\in\mathbb{R}$ , allora $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\ell\in\mathbb{R}$ .
Se $a_n\sim b_n$ e $b_n\sim c_n$ , allora $a_n\sim c_n$ .
(Principio di sostituzione) Siano $a_n, b_n, c_n\neq 0$ definitivamente; se $a_n\sim b_n$ , allora si ha
$\begin{equation*} a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n,\qquad\frac{a_n}{c_n}\sim \frac{b_n}{c_n},\qquad\frac{c_n}{a_n}\sim\frac{c_n}{b_n}. \end{equation*}$

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(7) $\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{2n} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{\frac{3}{3} \cdot 2n} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{3n}\right]^{2/3} \\ &= e^{2/3} = \sqrt[3]{e^2}. \end{aligned}$

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Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(8) $\begin{equation*} \frac{2^n-3^n}{1+3^n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2^n-3^n}{1+3^n}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle 3^n\left(\frac{2^n}{3^n}-1\right)}{\displaystyle 3^n\left(\frac{1}{3^n}+1\right)}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n-1}{\displaystyle \frac{1}{3^n}+1}=-1.$

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Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(9) $\begin{equation*} \frac{\sqrt{n}-n+n^2}{2n^2-n^{3/2}+1}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n}-n+n^2}{2n^2-n^{3/2}+1}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2(1+o(1))}{2n^2(1+o(1))}=\frac{1}{2}.$

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Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(10) $\begin{equation*} \frac{1+\log n}{\sqrt{n}-\log n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1 + \log n}{\sqrt{n} - \log n} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \log n \left(1+\frac{1}{\log n} \right)}{\displaystyle \sqrt n \left(1-\frac{\log{n}}{\sqrt{n}} \right)} =0,$

poiché $\sqrt{n}$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $\log n$ .

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Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(11) $\begin{equation*} (-1)^n\frac{n}{n^2+1} \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}(-1)^n\frac{n}{n^2+1}= \lim_{n\rightarrow+\infty}(-1)^n\frac{n(1+o(1))}{n^2(1+o(1))}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(-1)^n}{n}(1+o(1))=0.$

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(12) $\begin{equation*} \left(1+\frac{k}{n}\right)^{hn},\ \forall\ k,h\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{hn} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{k^{-1}n}\right)^{hn} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{k^{-1}n}\right)^{k^{-1}n \cdot kh} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{k^{-1}n}\right)^{k^{-1}n}\right]^{kh} \\ &= e^{kh}. \end{aligned}$

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Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(13) $\begin{equation*} \sqrt[n]{2^n+3^n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

Raccogliendo $3^n$ si ha

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}= \lim_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{3^n}\cdot\sqrt[n]{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}=3\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{1+o(1)}=3.$

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Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(14) $\begin{equation*} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{n+1+2}{n+1}\right)^n \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^n \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left[\left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}} \\ &= (e^2)^1 = e^2. \end{aligned}$

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Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(15) $\begin{equation*} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{n}\right)^{n}\right]^{\frac{n^2}{n}} \\ &= (e^{-1})^{+\infty} = e^{-\infty} = 0. \end{aligned}$

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Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(16) $\begin{equation*} \frac{\log(n+1)}{\log n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log(n+1)}{\log n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log(n)+\log(1+1/n)}{\log n}=1+\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+1/n)}{\log n}=1.$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 50 esercizi svolti sui limiti di successione.

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(17) $\begin{equation*} \frac{n+\sin n}{\log n+\cos n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

Le successioni $\sin n,\cos n$ sono entrambe limitate e non ammettono limite per $n$ tendente all’infinito. Tuttavia

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n+\sin n}{\log n+\cos n}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)}{\log n\left(1+\frac{\cos n}{\log n}\right)}=+\infty,$

in quanto $n$ cresce più velocemente del logaritmo.

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Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(18) $\begin{equation*} \frac{n^7-1}{n^6+1}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^7-1}{n^6+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^7(1+o(1))}{n^6(1+o(1))}=\lim_{n\rightarrow+\infty} n(1+o(1))=+\infty$

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Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(19) $\begin{equation*} \frac{4^n-2^n}{4^n+2^n}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4^n-2^n}{4^n+2^n}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2^{2n}-2^n}{2^{2n}+2^n}= \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2^{2n}(1-1/2^n)}{2^{2n}(1+1/2^n)}=1.$

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Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(20) $\begin{equation*} \frac{n^2\sin n+3n^2}{1+n^3}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

Osserviamo che, posto $a_n=\frac{n^2\sin n+3n^2}{1+n^3}$ ,

e quindi

$-\frac{4n^2}{1+n^3}\leq\frac{n^2\sin n+3n^2}{1+n^3}\leq\frac{4n^2}{1+n^3}.$

Dal momento che

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n^2}{1+n^3}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n^2}{n^3(1+o(1))}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4}{n(1+o(1))}=0,$

segue, dal teorema del confronto, che

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2\sin n+3n^2}{1+n^3}=0.$

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Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(21) $\begin{equation*} [1+(-1)^n]n^2 \end{equation*}$

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Svolgimento.

Indichiamo con $a_n=[1+(-1)^n]n^2$ : allora

$n=2h\implies a_{2h}=[1+(-1)^{2h}](2h)^2=[1+1]\cdot 4h^2=8h^2\geq 0,$

$n=2h+1\implies a_{2h+1}=[1+(-1)^{2h+1}](2h+1)^2=[1-1](2h+1)^2=0.$

Ma allora

$\lim_{h\rightarrow+\infty} a_{2h}=+\infty,\qquad \lim_{h\rightarrow+\infty} a_{2h+1}=0,$

e quindi il limite non esiste.

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Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(22) $\begin{equation*} \sqrt[3]{\frac{(3-\sqrt{n})(\sqrt{n}+2)}{8n-2}}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[3]{\frac{(3 - \sqrt{n})(\sqrt{n} + 2)}{8n - 2}} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[3]{\frac{6 + \sqrt{n} - n}{8n - 2}} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[3]{\frac{-n(1+o(1))}{8n(1+o(1))}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{-1(1+o(1))}{8(1+o(1))}} \\ &= -\frac{1}{2}. \end{aligned}$

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Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(23) $\begin{equation*} \frac{n(n+2)}{n+1}-\frac{n^3}{n^2+1}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{n(n+2)}{n+1}-\frac{n^3}{n^2+1}\right)= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2(1+o(1))}{n(1+o(1))}-\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^3(1+o(1))}{n(1+o(1))}=\infty-\infty,$

che è una forma indeterminata. Si osservi tuttavia che

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\frac{n(n+2)}{n+1} - \frac{n^3}{n^2 + 1}\right) &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(n^2 + 2n)(n^2 + 1) - n^3 (n + 1)}{(n + 1)(n^2 + 1)} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n - n^4 - n^3}{(n + 1)(n^2 + 1)} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^3(1+o(1))}{n^3(1+o(1))} \\ &= 1. \end{aligned}$

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Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(24) $\begin{equation*} n\cdot 2^n+\cos(n^2). \end{equation*}$

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Svolgimento.

Poniamo $a_n=n\cdot 2^n+\cos(n^2)$ . Allora, essendo $\cos(\alpha)\geq -1$ ,

$a_n=n\cdot 2^n+\cos(n^2)\geq n\cdot 2^n-1\rightarrow +\infty,$

per $n\rightarrow+\infty$ . Segue che

$\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=+\infty,$

per confronto.

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Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(25) $\begin{equation*} \frac{3n^2-5n}{5n^2+2n-6}. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n^2-5n}{5n^2+2n-6}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n^2(1+o(1))}{5n^2(1+o(1))}=\frac{3}{5}.$

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Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(26) $\begin{equation*} n^3+(-1)^n n^2. \end{equation*}$

$\,$

Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}(n^3+(-1)^n n^2)=\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3(1+o(1))=+\infty.$

$\,$

Esercizio 21 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(27) $\begin{equation*} \left(\frac{2n-3}{3n+7}\right)^4. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{2n-3}{3n+7}\right)^4= \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{2n}{3n}\right)^4(1+o(1))=\frac{16}{81}.$

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Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il limite della seguente successione:

(28) $\begin{equation*} \sqrt{n^2+n}-n. \end{equation*}$

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Svolgimento.

$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{n^2 + n} - n\right) &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{n^2 + n} - n\right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n \sqrt{1 + 1/n} + n} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n(1+o(1))}{2n(1+o(1))} \\ &= \frac{1}{2}. \end{aligned}$

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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Geometria analitica.

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
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