Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Home » Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

La convergenza uniforme di una successione di funzioni permette di trasferire numerose proprietà delle funzioni costituenti la successione al suo limite: risulta pertanto di fondamentale importanza nelle applicazioni teoriche e pratiche. È quindi opportuno sviluppare criteri che permettano di stabilire tale convergenza uniforme, anche senza ricorrere all’espressione esatta del limite. Il criterio di Cauchy, basato sull’omologo criterio per successioni numeriche, è uno dei più semplici ed efficaci in tal senso: esso esprime il fatto che, se i termini della successione sono sufficientemente vicini tra loro, allora la successione converge uniformemente.

In questo breve articolo studiamo questo importante strumento fornendone una presentazione chiara e accessibile. Se desideri saperne di più, prosegui quindi nella lettura!

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stata estrapolato questo criterio di convergenza:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Proposizione 1 (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme). Sia $E \subset \mathbb{R}$ e una successione di funzioni $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ . Allora $f_n$ converge uniformemente a una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ se e solo se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(1) $\begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{equation*}$

$\,$

Dimostrazione. Supponiamo che $f_n$ converga uniformemente a $f$ . Allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che, per ogni $n \geq N$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}$

Ma allora, per ogni $x \in E$ e per ogni $n, m \geq N$ , vale

(3) $\begin{equation*} \begin{split} |f_n(x) - f_m(x)| \leq & |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| \\ \leq & \sup_{x \in E}|f_n(x) - f(x)| + \sup_{x \in E}|f_m(x) - f(x)| \\ < & {\varepsilon}. \end{split} \end{equation*}$

Passando all’estremo superiore per il membro di sinistra, si ottiene

(4) $\begin{equation*} \sup_{x \in E}|f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon. \end{equation*}$

Viceversa, se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ per cui vale (1), allora in particolare per ogni $x \in E$ la successione $f_n(x)$ è di Cauchy, quindi per il teorema sulla convergenza delle successioni numeriche di Cauchy converge a un numero reale $f(x)$ che definisce una funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ .
Quindi