Convergenza uniforme e successioni numeriche

Quale rapporto vi è tra la convergenza uniforme e successioni numeriche?
La convergenza uniforme consente di trasferire al limite molte delle proprietà delle funzioni della successione. Tra queste, vi è la possibilità di scambiare l’ordine di calcolo dei limiti lungo una successione, come discusso in Scambio di limiti per la convergenza uniforme; Tale proprietà è valida anche per una successione numerica: se uniformemente e , come sono legati e ? Questo articolo esplora questa domanda, fornendo una risposta completa nel caso in cui sia continua.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stata estrapolato questo risultato e in cui si può trovare una discussione approfondita sull’argomento:

• Successioni di funzioni – Teoria;
• Convergenza puntuale;
• Convergenza uniforme;
• Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
• Limite uniforme di funzioni continue;
• Scambio di limiti per la convergenza uniforme;
• Passaggio al limite sotto il segno di integrale;
• Limite uniforme di funzioni derivabili;
• Piccolo teorema del Dini;
• Monotonia e convergenza uniforme;
• Equilimitatezza;
• Modulo di continuità ed equicontinuità;
• Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

Teorema 1. Sia una successione di funzioni uniformemente convergente ad una funzione , sia una successione in convergente a e supponiamo che sia continua in . Allora

(1)

Dimostrazione. Per la disuguaglianza triangolare, per ogni si ha

(2)

Vogliamo stimare i due termini al membro di destra di tale disuguaglianza. Sia ; poiché è continua in e per la convergenza uniforme di a , esiste tale che