Disuguaglianza triangolare

Benvenuti nel nostro articolo riguardante la disuguaglianza triangolare: esso fornisce un’introduzione teorica alla forma classica di questa importante disuguaglianza, oltre a riportare, con relative dimostrazioni, le sue formulazioni equivalenti nell’ insieme dei numeri reali.

L’articolo è pensato per un pubblico ampio, dagli appassionati agli studenti in cerca di un riferimento preciso e completo su questo argomento.

Ricordando che essa è uno delle proprietà caratteristiche che definiscono l’idea di distanza, consigliamo anche la lettura dell’articolo Spazi metrici, un’introduzione, per una trattazione più generale di questo tema. Segnaliamo inoltre, alla fine della pagina, una lista esaustiva del materiale presente sul sito.

La disuguaglianza triangolare nella matematica

La disuguaglianza triangolare è una proprietà fondamentale della nozione di distanza. Nella formulazione che più chiaramente motiva il suo nome, essa infatti afferma che la lunghezza di un lato di un triangolo è minore o uguale alla somma degli altri due lati.
In altre parole, la distanza da percorrere per spostarsi da un punto a un punto non può essere maggiore della somma delle distanze da percorrere per andare prima da a e poi da a :

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Intuitivamente essa vale perché, se nel viaggio per andare da a si vuole necessariamente passare per , allora in generale si percorrerà una distanza maggiore o uguale a quella che si percorrerebbe se la tappa per non fosse richiesta.

Nel contesto dei numeri reali, tale disuguaglianza può essere tradotta nel seguente modo:

(2)

Infatti, poiché rappresenta la distanza tra i due numeri reali e , essa appunto afferma che tale distanza è minore o uguale di , che rappresenta la somma delle distanze di e dal numero reale .

La disuguaglianza triangolare è utilissima in Analisi Matematica e in Geometria, poiché fornisce la migliore stima possibile sulla “taglia” della somma di due numeri reali, in base alla somma delle loro “taglie” .
Essa trova quindi applicazione in ogni teorema in cui simili stime siano utili: come esempi citiamo il teorema di unicità del limite e il teorema sull’algebra dei limiti (reperibili in Teoria sui limiti), il Il teorema di Heine-Cantor. Inoltre è conseguenza della disuguaglianza triangolare il fatto che le successioni di Cauchy in hanno limite, e quindi una forma della importantissima proprietà di completezza di , si veda ad esempio Costruzioni alternative di e Diverse formulazioni dell’assioma di completezza.

Esistono poi numerose generalizzazioni della disuguaglianza triangolare: oltre all’estensione alla somma di più numeri reali, esiste la sua versione integrale, oppure la sua generalizzazione alle serie numeriche e alle serie di funzioni, che genera fondamentali strumenti come il criterio di convergenza assoluta e di convergenza totale.

Notevoli risultano i suoi utilizzi e le sue estensioni nell’Analisi funzionale e in ogni branca dell’Analisi.

Si potrebbe dire che la disuguaglianza triangolare è forse lo strumento maggiormente utilizzato nell’Analisi Matematica e ci accingiamo pertanto a discuterla in maniera approfondita.

La disuguaglianza triangolare

Disuguaglianza triangolare. Per ogni vale la seguente diseguaglianza

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Versioni alternative della disuguaglianza triangolare