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Il teorema ponte per le funzioni continue

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Scopri la magia del calcolo nel nostro viaggio alla scoperta del teorema ponte nelle funzioni continue. Questa dispensa offre una panoramica intrigante su come la continuità di una funzione reale di variabile reale possa essere affrontata tramite le successioni. Sveliamo le profonde connessioni tra limiti di funzioni e successioni, offrendo non solo teoria ma anche applicazioni pratiche che ispirano e arricchiscono la comprensione matematica. Preparati a un’avventura intellettuale che trasformerà il tuo modo di vedere la matematica.

Consigliamo i seguenti articoli di esercizi:

Segnaliamo inoltre i seguenti articoli sulla teoria collegata, dei quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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La nozione di continuità di una funzione f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} in un punto (si veda [1, Funzioni continue, sezione 2]) riguardando gli intorni dei punti x e f(x) in questione, può risultare difficoltosa da verificare o da confutare. Grazie alle proprietà della distanza in \mathbb{R}, è sufficiente usare le successioni x_n \to x per testare la continuità di f in x, ottenendo così il risultato principale di questa dispensa.

 

Teorema 1 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

 

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (1) \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

 

Tale teorema risulta una versione particolare del cosiddetto cosiddetto teorema ponte, che stabilisce il legame tra limiti di successioni e di funzioni.

 

Teorema 2 (teorema ponte). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A e sia \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}. Le due affermazioni seguenti sono equivalenti:  

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A \setminus \{x_0\} tale che x_n \to x_0, si ha

    (2) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} f(x_n)= \ell. \end{equation*}

 

In questa dispensa, dopo aver elencato le definizioni e le proprietà fondamentali nella sezione 1, nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1. Nella sezione 3 mostriamo alcune applicazioni.

 

Definizioni preliminari

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Ricordiamo la definizione di funzione continua.

 

Definizione 3 (funzione continua in un punto). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f \colon A \to \mathbb{R} si dice continua in x_0 \in A se x_0 è un punto isolato di A oppure se

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]

Equivalentemente, f è continua in x_0 se e solo se, per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(3) \begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}

 

Dimostrazione del teorema 1

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