Il teorema ponte per le funzioni continue

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema ponte per le funzioni continue

Scopri la magia del calcolo nel nostro viaggio alla scoperta del teorema ponte nelle funzioni continue. Questa dispensa offre una panoramica intrigante su come la continuità di una funzione reale di variabile reale possa essere affrontata tramite le successioni. Sveliamo le profonde connessioni tra limiti di funzioni e successioni, offrendo non solo teoria ma anche applicazioni pratiche che ispirano e arricchiscono la comprensione matematica. Preparati a un’avventura intellettuale che trasformerà il tuo modo di vedere la matematica.

Consigliamo i seguenti articoli di esercizi:

Segnaliamo inoltre i seguenti articoli sulla teoria collegata, dei quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

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Ottieni il documento contenente la dimostrazione sul teorema ponte per le funzioni continue.

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

Introduzione

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La nozione di continuità di una funzione $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ in un punto (si veda [1, Funzioni continue, sezione 2]) riguardando gli intorni dei punti $x$ e $f(x)$ in questione, può risultare difficoltosa da verificare o da confutare. Grazie alle proprietà della distanza in $\mathbb{R}$ , è sufficiente usare le successioni $x_n \to x$ per testare la continuità di $f$ in $x$ , ottenendo così il risultato principale di questa dispensa.

Teorema 1 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in A$ . Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

$f$ è continua in $x_0$ ;
per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , si ha
(1) $\begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}$

Tale teorema risulta una versione particolare del cosiddetto cosiddetto teorema ponte, che stabilisce il legame tra limiti di successioni e di funzioni.

Teorema 2 (teorema ponte). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ e sia $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ . Le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell;$
per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A \setminus \{x_0\}$ tale che $x_n \to x_0$ , si ha
(2) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} f(x_n)= \ell. \end{equation*}$

In questa dispensa, dopo aver elencato le definizioni e le proprietà fondamentali nella sezione 1, nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1. Nella sezione 3 mostriamo alcune applicazioni.

Definizioni preliminari

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Ricordiamo la definizione di funzione continua.

Definizione 3 (funzione continua in un punto). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Una funzione $f \colon A \to \mathbb{R}$ si dice continua in $x_0 \in A$ se $x_0$ è un punto isolato di $A$ oppure se

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

Equivalentemente, $f$ è continua in $x_0$ se e solo se, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che

(3) $\begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}$

Dimostrazione del teorema 1

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Possiamo quindi dimostrare il teorema 1. Forniamo anche una rappresentazione grafica dell’idea della dimostrazione in figura 1.

Figura 1: rappresentazione della dimostrazione del teorema 1; l’intorno $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ è rappresentato in rosso, mentre in verde è rappresentato l’intorno $(f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$ .

Dimostrazione. Proviamo separatamente le due implicazioni.

Sia $f$ continua in $x_0$ , si consideri una successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ e sia $\varepsilon>0$ . Per la continuità di $f$ , esiste $\delta>0$ tale che

(4) $\begin{equation*} |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}$

Poiché $x_n$ è a valori in $A$ e $x_n \to x_0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(5) $\begin{equation*} x_n \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A \qquad \forall n \geq N, \end{equation*}$

come rappresentato in figura 1. Da (4) e (5) segue che

(6) $\begin{equation*} |f(x_n)-f(x_0)| < \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \end{equation*}$

ossia, per l’arbitrarietà di $\varepsilon$ , che $\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0)$ .
Supponiamo viceversa che $f$ non sia continua in $x_0$ . Allora per definizione di continuità esiste $\varepsilon>0$ con la proprietà che

(7) $\begin{equation*} \exists x_n \in \left(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n} \right ) \cap A \,\,\,\, \text{tale che} \,\,\,\, |f(x_n)-f(x_0)|>\varepsilon \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

La successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è a valori in $A$ e, da $|x_n-x_0|<\frac{1}{n}$ , segue che converge a $x_0$ . Ciononostante, essa non soddisfa $\lim_{n \to + \infty} f(x_n)=x_0$ .

Applicazioni

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Il teorema 1 si rivela uno strumento utile per mostrare la non esistenza del limite di una funzione, e dunque può essere utilizzato per mostrare che una funzione non è continua in un punto o non può essere estesa con continuità in tale punto.

Vengono presentati ora due esempi di applicazione del teorema per provare la non esistenza di un limite; in particolare, data una funzione $f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , la strategia è quella di trovare due successioni $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ che convergono allo stesso limite $x_0$ che sia un punto di accumulazione per $A$ tali che

$\lim_{n \to +\infty}f(x_n)\neq \lim_{n\to +\infty}f(y_n).$

Per il teorema 2 segue dunque che $\lim_{x \to x_0}f(x)$ non esiste.

Esempio 4. Consideriamo la funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

e dimostriamo che non esiste

$\lim_{x \to +\infty} \sin x.$

L’intuizione che questo limite non esista è dovuta alla natura oscillatoria e periodica della funzione $f$ i cui valori $f(x)$ sembrano “non avvicinarsi”, per $x \to + \infty$ , ad alcun numero reale fissato.

Consideriamo le successioni $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ di termini generali rispettivamente

$x_n = 2 \pi n\quad \text{e} \quad y_n = 2\pi n + \frac{\pi}{2}, \qquad \forall n\in \mathbb{N}.$

Tali successioni sono rappresentate graficamente in figura 2.

Figura 2: le due successioni $x_n$ e $y_n$ dell’esempio 4; si vede che $\sin x_n=0$ e $\sin y_n=1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ . Da ciò e dal teorema 2 segue che $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sin x$ non esiste.

Vale

$\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} y_n = +\infty,$

tuttavia

$\sin(x_n) = 0 \quad \mbox{ e } \quad \sin(y_n) = 1, \qquad \forall n \in \mathbb{N},$

e di conseguenza

$\lim_{n \to +\infty} \sin(x_n) = 0 \quad \mbox{ e } \quad \lim_{n \to +\infty} \sin(y_n) = 1.$

Poiché la condizione $2.$ del teorema 1 non è soddisfatta, segue che $\lim_{x\to + \infty} \sin x$ non esiste.

Esempio 5. Consideriamo la funzione $f\colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

e dimostriamo che $f$ non può essere estesa con continuità a $x=0$ , cioè che non esiste

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}.$

dimostriamo che non esiste

$\lim_{x \to +\infty} \sin x.$

A tal fine, consideriamo due successioni $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ di termini generali

$x_n = \frac{1}{n} \quad \text{e}\quad y_n = - \frac{1}{n}, \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

Tali successioni sono rappresentate graficamente in figura 3.

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Figura 3: le due successioni $x_n$ e $y_n$ dell’esempio 5; da $f(x_n)\to +\infty$ , $f(y_n) \to -\infty$ e dal teorema 2 segue che $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$ non esiste.

Si ha

$\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} y_n = 0.$

Tuttavia,

$f(x_n) = n \quad \mbox{ e } \quad f(y_n) = -n, \qquad \forall n \in \mathbb{N},$

e di conseguenza

$\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = +\infty \quad \mbox{ e } \quad \lim_{n \to +\infty} f(y_n) = -\infty.$

Ciò implica che $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ non esiste e quindi $f$ non può essere estesa con continuità al punto $x=0$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve Funzioni continue.

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MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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