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Il teorema di esistenza degli zeri

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema di esistenza degli zeri afferma che, se una funzione continua su un intervallo assume valori di segno diverso, allora assume anche valore nullo. Esso è uno strumento utilissimo nel provare l’esistenza di soluzioni a equazioni non facilmente risolubili esplicitamente. Presentiamo una dimostrazione costruttiva del teorema che fornisce un metodo pratico per la ricerca approssimata di tali soluzioni, oltre a una breve ed elegante dimostrazione di carattere più teorico. Se desideri conoscere i dettagli di questo strumento dalle infinite potenzialità, questo conciso articolo è quanto cercavi!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale teorico di riferimento:

Di seguito, inoltre, le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

 

Sommario

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In questo articolo trattiamo il teorema di esistenza degli zeri e ne presentiamo due dimostrazioni: una di tipo più teorico e un’altra di tipo costruttivo. Riportiamo inoltre dei controesempi sulla necessità delle ipotesi e un’applicazione alla risoluzione qualitativa di equazioni.

 

Autori e revisori

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Autore: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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Questo articolo tratta una formalizzazione matematica del seguente concetto pratico e intuitivo: “tracciando una linea continua che cominci da una parte di una retta e termini dall’altra, la linea deve attraversare la retta.” Per secoli si è ritenuto che questo genere di conclusioni fossero talmente evidenti da non necessitare una dimostrazione. Soltanto quando divenne necessario definire cosa significasse matematicamente l’espressione “linea continua”, ci si rese conto che, di conseguenza, anche queste informazioni così semplici andavano giustificate e dimostrate rigorosamente.

Il teorema di esistenza degli zeri consiste appunto nella formalizzazione dell’idea intuitiva esposta sopra. In esso, per linea continua si intende il grafico di una funzione continua, mentre la retta è data dall’asse delle ascisse. Le due zone da una parte e dall’altra di esso sono il semipiano delle y negative e quello delle y positive. Quindi, una funzione continua che assuma valori di segno opposto agli estremi di un intervallo interseca necessariamente l’asse delle x; esiste cioè un punto x_0 tale che f(x_0)=0. x_0 viene quindi detto uno zero di f, cioè un punto in cui f assume il valore 0. Si veda la figura 1.

   

 

Figura 1: rappresentazione del teorema 1. Poiché f(a)<0, f(b)>0 e f è continua, il grafico di f interseca l’asse x in almeno un punto x_0 \in (a,b). Si noti che, nonostante il teorema 1 assicuri l’esistenza di almeno un punto x_0 tale che f(x_0)=0, esso può non essere unico, come nel caso in esame in cui sono presenti anche gli zeri x_1 e x_2 di f.

   

Teorema 1 (teorema di esistenza degli zeri). Sia f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua e si supponga che f(a)\cdot f(b) < 0. Allora esiste x_0\in \left(a,b\right) tale che f(x_0)=0.

 

Osserviamo che la condizione f(a) \cdot f(b)<0 è semplicemente un modo compatto per esprimere il fatto che f(a) e f(b) hanno segno opposto: infatti ciò è equivalente a richiedere che f(a) \cdot f(b)<0.

Notiamo infine che il punto x_0 in cui f si annulla potrebbe anche non essere unico, come nell’esempio rappresentanto in figura 1.

Dopo aver richiamato le definizioni e i risultati preliminari nella sezione 1, presentiamo due dimostrazioni del teorema 1: la prima, nella sezione 2, di tipo più teorico, mentre la seconda di tipo costruttivo è riportata nella sezione 3. Nella sezione 4 notiamo come le ipotesi del teorema siano necessarie affinché la tesi sia valida. Infine, nella sezione 5 presentiamo un corollario che risulta molto utile nella risoluzione qualitativa di equazioni che sarebbero difficilmente trattabili al fine di trovare la soluzione esplicita.

 

Definizioni preliminari

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In questa sezione richiamiamo, per comodità del lettore, la definizione e i risultati sulle funzioni continue che utilizzeremo nel seguito. Rimandiamo alla dispensa [2, Funzioni continue] per una trattazione completa dell’argomento. Riportiamo la caratterizzazione della continuità per successioni stabilita in [2, Funzioni continue], che utilizziamo nelle dimostrazioni del teorema 1.

 

Teorema 2 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:  

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (1) \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

 

Un ulteriore risultato dalla teoria delle funzioni continue che utilizzeremo è il teorema della permanenza del segno [2, Funzioni continue, corollario 5.2].

 

Teorema 3 (permanenza del segno per funzioni continue). Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0\in A un punto di continuità per f. Allora se f(x_0)>0 esiste un intorno I_{x_0} tale che

\[f(x)>0 \qquad \forall x\in I_{x_0}\cap A.\]

Vale un risultato analogo se f(x_0)<0.

 

 

Dimostrazione del teorema 1

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