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Scambio di limiti per la convergenza uniforme

Teoria Successioni di funzioni

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La convergenza uniforme di una successione di funzioni f_n \colon E \to \mathbb{R} permette di trasferire al limite f numerose proprietà della successione approssimante. Una delle più importanti (dalle quali discendono grosso modo tutte le altre) consiste nella possibilità di scambiare i limiti, volendo calcolare il limite per x \to x_0 della funzione f (che è il limite per n \to +\infty della successione f_n) è equivalente a calcolare il limite, per n \to +\infty del limite per x \to x_0 di f_n(x), come chiarito dal risultato principale di questo articolo.

Consigliamo la lettura degli articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stato estrapolato questo teorema:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  

 

Teorema 1. (scambio di limiti per la convergenza uniforme). Sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni che converga uniformemente a una funzione f \colon E \to \mathbb{R} e sia x_0 \in E un punto di accumulazione di E. Se i limiti \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) esistono per ogni n \in \mathbb{N}, allora il limite \displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) esiste e inoltre vale

(1) \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) %\Big( \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\Big) = \lim_{n\to+\infty} \Big( \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \Big). \end{equation*}

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Dimostrazione. Chiamiamo

(2) \begin{equation*} L_n := \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

La tesi è equivalente a dimostrare che il limite L_0:= \lim_{n \to \infty} L_n esiste e che vale

(3) \begin{equation*} L_0 = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x). \end{equation*}

\bullet Caso 1: Esiste M \in \mathbb{N} tale che L_n \in \mathbb{R} per ogni n \geq M

A meno di troncare i primi M elementi della successione f_n, possiamo supporre che tutti i numeri L_n siano finiti.

Dimostriamo prima che L_n è una successione di Cauchy, quindi convergente. Infatti, sia \varepsilon>0; poiché la successione f_n converge uniformemente, esiste N \in \mathbb{N} tale che
per ogni n,m \in \mathbb{N} abbiamo

(4) \begin{equation*} |L_n - L_m| = \lim_{x \to x_0} |f_n(x) - f_m(x)| \leq \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \qquad \forall n, m \geq N. \end{equation*}

Ciò prova che la successione L_n è di Cauchy, per cui converge a un numero reale L_0.

Dimostriamo ora che vale la (3). A tal fine, consideriamo x_j \in E una successione convergente a x_0. La tesi è provata se si dimostra che

(5) \begin{equation*} \lim_{j \to \infty} f(x_j)=L_0. \end{equation*}

Per la disuguaglianza triangolare, per ogni n \in \mathbb{N} si ha

(6) \begin{equation*} |f(x_j) - L_0| \leq |f(x_j) - f_n(x_j)| + |f_n(x_j) - L_n| + |L_n - L_0|. \end{equation*}

Fissiamo ora \varepsilon>0 e stimiamo dall’alto i tre termini nel membro di destra della (6) per ottenere che |f(x_j) - L_0| < \varepsilon per j sufficientemente grande.

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