Teorema di unicità del limite per le successioni

Il teorema di unicità del limite è classicamente uno dei primi risultati che vengono presentati nella teoria dei limiti. Infatti, nonostante la nozione di limite formalizzi l’idea intuitiva di “valore a cui si avvicinano i termini della successione” e nonostante intuitivamente tale valore debba essere unico, ciò non è immediatamente chiaro dalla definizione.
È necessario quindi assicurarsi che, qualora esista, il limite di una successione sia unico, anche al fine di utilizzare la nota scrittura , in cui l’uso del segno di uguaglianza presuppone implicitamente che l’oggetto a sinistra dell’uguale sia unico.
In questo articolo esploriamo l’enunciato e la definizione del teorema, che vedremo si riconduce a provare che due numeri distinti possiedono intorni disgiunti, e cioè alla cosiddetta “proprietà di separazione degli intorni”.

Oltre alle raccolte di esercizi

• Limiti di successioni – Esercizi misti 1,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 2,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 3,
• Numero di Nepero: esercizi sul limite notevole,

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

• Criterio del rapporto per le successioni;
• Criterio della radice;
• Definizione e proprietà del numero di Nepero;
• Successioni di Cauchy;
• Teorema di Bolzano-Weierstrass;
• Il teorema ponte.

Buona lettura!

Autori e revisori

Teorema 1 (unicità del limite). Sia una successione tale che

allora tale limite è unico.

Dimostrazione. Supponiamo che e con . Siano un qualsiasi intorno di e un qualsiasi intorno di . Per la definizione di limite tale che e . Quindi esiste tale che

(1)

Il punto principale della dimostrazione è provare che, se , allora esistono due rispettivi intorni e disgiunti, rendendo quindi impossibile (1). Per mostrare l’esistenza di tali , distinguiamo vari casi. Senza perdita di generalità supporremo sempre .