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Esistenza di sottosuccessioni monotone

Teoria sulle Successioni

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Le proprietà di monotonia sono molto importanti in Matematica, in quanto esse corrispondono a un “ordine” degli oggetti in esame, che spesso ne facilita l’analisi. Nel caso delle successioni, presentiamo questo importante risultato che afferma che ogni successione possiede una sottosuccessione monotona. Questo teorema consente inoltre di dimostrare in maniera immediata il teorema di Bolzano-Weirstrass, oltre a essere utile in numerose applicazioni.
Presentiamo dunque il risultato, insieme ad alcune conseguenze interessanti.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Teorema 1 (esistenza di estratte monotone). Ogni successione a_n possiede un’estratta monotona. Se inoltre a_n è illimitata, valgono le seguenti proprietà.

  1. Se a_n è illimitata superiormente, allora esiste una sua estratta a_{n_k} strettamente crescente e tale che a_{n_k} \to + \infty.
  2. Se a_n è illimitata inferiormente, allora esiste una sua estratta a_{n_k} strettamente decrescente e tale che a_{n_k} \to - \infty.

 
Dimostrazione. Sia a_n la successione in questione. Diciamo che un termine a_n è un picco se

(1) \begin{equation*} a_n \geq a_m \qquad \forall m > n, \end{equation*}

ossia se a_n è maggiore o uguale a ognuno dei termini ad esso successivi.1 Distinguiamo quindi due casi.

  • a_n ha infiniti picchi. In tal caso, scegliamo come sottosuccessione a_{n_k} quella dei picchi. Poiché per definizione di estratta la funzione k \mapsto n_k è strettamente crescente, si ha n_{k+1} > n_k per ogni k \in \mathbb{N}. Quindi, dato che ogni a_{n_k} è un picco, si ha

    (2) \begin{equation*} a_{n_k} \geq a_{n_{k+1}} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}

    ovvero la sottosuccessione a_{n_k} è decrescente.

  • a_n ha un numero finito di picchi. Poiché il numero di picchi è finito, esiste N \in \mathbb{N} tale che, per ogni n \geq N, a_n non è un picco. Costruiamo quindi una sottosuccessione crescente per induzione.

    Fissiamo a_{n_1}= a_{N}. Supponiamo di aver scelto a_{n_k} e scegliamo a_{n_{k+1}} nel seguente modo: dato che n_k \geq N, a_{n_k} non è un picco, quindi esiste m > n_k tale che a_m > a_{n_k}. Poniamo quindi a_{n_{k+1}}=a_m. Per induzione l’estratta \{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} è definita ed è strettamente crescente.

Ciò conclude la dimostrazione dell’esistenza di un’estratta monotona. Rimane da provare la seconda parte del teorema, ovvero che tale estratta può essere scelta divergente a +\infty se la successione a_n è illimitata superiormente e divergente a -\infty se a_n è illimitata inferiormente. Mostriamo solo il caso in cui essa sia illimitata superiormente in quanto l’altro caso si svolge in maniera del tutto analoga. Osserviamo che l’estratta monotona esibita nella prima parte della dimostrazione potrebbe non essere divergente, anche se a_n è illimitata. Pertanto occorre definire la sottosuccessione a_{n_k} in altro modo.

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