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Successioni asintotiche

Teoria sulle Successioni

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La nozione di successioni asintotiche formalizza l’idea di successioni che sono “uguali al limite”. Infatti, nonostante i primi termini delle successioni a_n e b_n possano essere molto diversi, se vale \lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1, ciò vuol dire che, al crescere di n, i termini a_n e b_n diventano “sempre più vicini”, confondendosi al limite. Tale proprietà si traduce in alcune equivalenze nel calcolo dei limiti.
In questo articolo presentiamo questo concetto, oltre alla nozione collegata di o-piccolo, che invece formalizza l’idea di una successione i cui termini siano “trascurabili”, al limite, rispetto a quelli di un’altra.
L’articolo è quindi particolarmente indicato per appassionati e studenti dei corsi di Laurea scientifici che desiderano prepararsi per l’esame di Analisi Matematica 1.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

 

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  


 

Definizione 1 (successioni asintotiche). Due successioni \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} di numeri reali con b_n\neq 0 definitivamente, si dicono asintotiche se

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}

In tal caso scriveremo che a_n\sim b_n per n\rightarrow +\infty.

Esempio 2. Consideriamo la successione polinomiale a_n, definita come

(1) \begin{equation*} a_n=\sum_{k=0}^{p}c_k n^k\qquad\forall n\in\mathbb{N}, \end{equation*}

dove p>0 e c_p\neq 0. In questo caso, si può affermare che a_n è asintoticamente equivalente a c_p n^p. Infatti:

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{c_p n^p+c_{p-1} n^{p-1}+\dots+ c_1 n+c_0}{c_p n^p}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\cancel{ n^p}\left(c_p+\frac{c_{p-1}}{n}+\dots+ \frac{c_1}{n^{p-1}}+\frac{c_0}{n^p}\right)}{c_p \cancel{n^p}}=1. \end{equation*}

Questo metodo di analisi può essere esteso a successioni simili a quella definita in (1) ma con esponenti razionali, dimostrando che la successione si comporta asintoticamente come la potenza di n con l’esponente più alto.

 
La precedente discussione serve a confrontare successioni che assumono un comportamento simile per n \to +\infty. Risulta molto utile introdurre una ulteriore notazione per indicare invece che una successione a_n è trascurabile rispetto a un’altra successione b_n al limite per n \to +\infty.
 

Definizione 3 (o-piccolo). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni a valori in \mathbb{R} tale che b_n\neq 0 definitivamente. Diremo che a_n è o-piccolo di b_n se vale

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=0. \end{equation*}

In tal caso scriveremo che a_n=o(b_n) per n\rightarrow +\infty.

 
Osservazione 4. Se a_n è una successione infinitesima, allora a_n=o(1), infatti

\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0\Rightarrow \,\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{1}=0. \end{equation*}

 
Quindi dire che una successione a_n è un o-piccolo di b_n vuol dire che la successione a_n risulta in qualche maniera trascurabile rispetto alla successione b_n.

Il prossimo risultato chiarisce come due successioni asintotiche siano essenzialmente equivalenti nel calcolo di un limite.

Teorema 5 (proprietà delle successioni asintotiche). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni; allora valgono le seguenti proprietà.

  1. Se a_n\sim b_n e \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell\in\mathbb{R}, allora \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\ell\in\mathbb{R}.
  2. Se a_n\sim b_n e b_n\sim c_n, allora a_n\sim c_n.

  3. (Principio di sostituzione.) Siano a_n, b_n, c_n\neq 0 definitivamente; se a_n\sim b_n, allora per ogni successione c_n si ha

    \begin{equation*} a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n,\qquad\frac{a_n}{c_n}\sim \frac{b_n}{c_n},\qquad\frac{c_n}{a_n}\sim\frac{c_n}{b_n}. \end{equation*}

 
Dimostrazione.

  1. Poiché a_n e b_n sono due successioni asintotiche è sufficiente notare che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}\cdot b_n=1\cdot \ell=\ell. \end{equation*}

  2. Per le stesse proprietà

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