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Integrali doppi: definizione, proprietà ed esercizi svolti (parte 2)

Integrali doppi, Teoria Funzioni di più variabili

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In questa seconda parte della nostra trattazione sugli integrali multipli (doppi e tripli), presentiamo alcuni metodi pratici per il loro calcolo (formule di riduzione, semplificazioni dovute alla parità, etc…) oltre a numerosi esempi svolti.

Questo articolo, naturale prosecuzione di Integrali multipli – parte 1 – teoria, è quindi indicato per studenti di Analisi 2 ed appassionati che desiderano approfondire la loro conoscenza degli integrali multipli.

Riportiamo i seguenti articoli su altro materiale teorico su argomenti di Analisi 2:

Segnaliamo inoltre anche i seguenti articoli di esercizi:

  • Successioni di funzioni – Esercizi;
  • Limiti in più variabili – Esercizi;
  • Esercizi su punti stazionari con determinante hessiano nullo.

      •  

      Integrali multipli: sommario

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      Questa dispensa è la seconda parte di un lavoro dedicato allo studio degli integrali doppi. Nella prima parte abbiamo presentato le proprietà fondamentali degli integrali doppi. In questa seconda parte, invece, studiamo alcuni metodi utili per calcolarli.

       
       

      Autori e revisori

      Leggi...

      Autori: Antonia Diana, Valerio Brunetti

      Revisori: Luigi De Masi, Matteo Talluri, Daniele Bjørn Malesani, Silvia Lombardi, Roberto Castorrini, Jacopo Garofali, Daniele Fakhoury, Sara Sottile, Davide La Manna.


       
       

      Integrali multipli: notazioni

      Leggi...

      \mathbb R^+    insieme dei numeri reali positivi;
      \mathcal R    rettangolo di \mathbb R^2;
      S(f, \mathcal P), s(f, \mathcal P)    somma superiore e inferiore di f relative alla partizione \mathcal P;
      \int_{\Omega} f    integrale di f sull’insieme \Omega;
      \vert \cdot \vert    volume n-dimensionale, misura di Peano-Jordan;
      B_r (x_0,y_0):    palla di centro (x_0,y_0) e raggio r;
      J_\phi    matrice Jacobiana della funzione \phi.


       
       

      Introduzione

      Leggi...

      Nella prima parte della dispensa abbiamo elencato e dimostrato le proprietà fondamentali degli integrali doppi. Utilizzare la definizione per calcolare un integrale doppio risulta però poco pratico, pertanto vogliamo fornire delle formule utili per il calcolo effettivo degli integrali doppi nei casi reali.

      Nel seguito utilizziamo le stesse notazioni della prima parte della dispensa, nella quale in lettore trova tutte le nozioni di base per lo studio degli integrali doppi.


       
       

      Formule di riduzione per gli integrali multipli

      Introduzione.

      Uno dei metodi più semplici, utile in moltissimi casi, è il metodo di riduzione.

      Teorema 1.1 (formule di riduzione in un rettangolo). Siano \mathcal R= [a,b] \times [c,d], f : \mathcal R \to \mathbb R integrabile.

      \[\quad\]

      • Se, per ogni x \in [a,b], la funzione y \mapsto f(x, y) è integrabile in [c,d] allora la funzione x \mapsto \int_c^d f(x,y) \, dy è integrabile in [a,b] e risulta

        \[\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy = \int_a^b \left (\int_c^d f(x,y) \, dy \right )dx .\]

         

      • Se, per ogni y \in [c,d], la funzione x \mapsto f(x, y) è integrabile in [a,b] allora la funzione y \mapsto \int_a^b f(x,y) \, dx è integrabile in [c,d] e risulta

        \[\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy = \int_c^d \left (\int_a^b f(x,y) \, dx \right )dy .\]

      Pertanto, quando entrambe le ipotesi sono verificate, vale la formula di scambio dell’ordine di integrazione, cioè

      \[\int_a^b \left (\int_c^d f(x,y) \, dy \right )dx = \int_c^d \left (\int_a^b f(x,y) \, dx \right )dy=\iint_\mathcal R f(x,y)\,dxdy .\]

      \[\quad\]

      Dimostrazione. Dimostriamo solo la prima formula, poiché per la seconda il ragionamento è analogo (si scambiano i ruoli di x e y). Per ipotesi, per ogni x\in [a,b] la funzione y \mapsto f(x, y) è integrabile in [c,d], quindi la funzione

      \[\phi(x)=\int_c^d f(x,y) \, dy\]

      è ben definita per ogni x \in [a,b]. Vogliamo dimostrare che \phi è integrabile e che vale

      \[\int_a^b \phi(x)\, dx =\iint_\mathcal R f(x,y) \, dxdy.\]

      Consideriamo \mathcal T = \{T_i\}_{i=1}^t e \mathcal P = \{ P_j\}_{j=1}^p partizioni di [a,b] e [c,d] rispettivamente; allora per ogni x \in [a,b] vale

      \[\phi(x)=\int_c^d f(x,y) \, dy \geq s(\mathcal P, f(x,\cdot))=\sum_{j=1}^p \vert P_j \vert \inf_{y \in P_j} f(x,y)\]

      e dunque

      \[\inf_{x \in T_i} \phi (x) \geq \sum_{j=1}^p \vert P_j \vert \inf_{(x,y) \in T_i \times P_j} f(x,y) \qquad \forall i=1, \dots, t.\]

      Quindi abbiamo che

      \[s(\mathcal T, \phi) = \sum_{i=1}^t \vert T_i \vert \inf_{ x \in T_i} \phi(x) \geq \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^p \vert T_i \vert \vert P_j \vert \inf_{(x,y) \in T_i \times P_j} f(x,y)= s(\mathcal T \times \mathcal P, f)\]

      cioè s(\mathcal T, \phi) \geq s(\mathcal T \times \mathcal P, f). Con gli stessi argomenti possiamo dimostrare che S(\mathcal T, \phi) \leq S(\mathcal T \times \mathcal P, f), e quindi vale la seguente catena di disuguaglianze:

      \[s(\mathcal T \times \mathcal P, f) \leq s(\mathcal T, \phi)\leq S(\mathcal T, \phi) \leq S(\mathcal T \times \mathcal P, f) .\]

      Allora, poiché f è integrabile, passando all’estremo superiore e all’estremo inferiore su tutte le partizioni di [a,b] e [c,d], segue (dalla proposizione 1.15 della prima parte della dispensa) che \phi è integrabile e vale

      (1) \begin{equation*} \int_a^b \phi(x) \, dx= \int \int_{R} f(x,y) \, dxdy . \end{equation*}

      Osservazione 1.2. Facciamo notare che questo risultato è un caso particolare del teorema di Fubini-Tonelli, valido in una classe di spazi cosiddetti spazi di misura, che non trattiamo in quanto esulano dagli scopi della dispensa.

      Con argomenti analoghi, possiamo estendere il risultato precedente al caso di funzioni integrabili in un dominio semplice (definizione 3.16 della prima parte della dispensa), che ricordiamo qui.

      Definizione 1.3 (dominio semplice). Un dominio \mathcal D \subset \mathbb R^2 si dice semplice (o normale) rispetto all’asse \boldsymbol{x} se esistono due funzioni \alpha , \beta : [a,b] \to \mathbb R continue, tali che \alpha \leq \beta in [a,b] e

      \[\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, a \leq x \leq b , \, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \}.\]

      Analogamente, \mathcal D si dice semplice (o normale) rispetto all’asse \boldsymbol{y} se esistono due funzioni \gamma , \delta: [c,d] \to \mathbb R continue, tali che \gamma \leq \delta in [c,d] e

      \[\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, c \leq y \leq d , \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y) \}.\]

      Teorema 1.4 (formule di riduzione). Sia \mathcal D \subset \mathbb R^2 e sia f \colon \mathcal D \to \mathbb R una funzione integrabile in \mathcal D.

      \[\quad\]

      • Se \alpha,\beta \colon [a,b] \to \mathbb{R} funzioni continue, se

        \[\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, a \leq x \leq b , \, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \}\]

        è un dominio semplice rispetto all’asse x e se le restrizioni f\vert _{S_x} di f ai segmenti verticali S_x definiti da

        \[S_x :=\{ x \} \times [\alpha(x),\beta(x)]=\{x\} \times \{y\in \mathbb R \, : \, \alpha (x) \leq y \leq \beta(x)\} \qquad \forall x \in [a,b]\]

        sono integrabili per ogni x \in [a,b], allora la funzione x \mapsto \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y) dy è integrabile in [a,b] e vale

        \[\iint_\mathcal D f(x,y) \, dx dy = \int_a^b \left (\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \, dy \right )dx.\]

        •  

      • Se \gamma, \delta \colon [c,d] \to \mathbb{R} sono funzioni continue, se

        \[\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, c \leq y\leq d , \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y) \}\]

        è semplice rispetto all’asse y e se le restrizioni f\vert _{S_y} di f ai segmenti verticali S_y definiti da

        \[S_y :=[\gamma(y), \delta(y)] \times \{y\}=\{x\in \mathbb R \, : \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y))\} \times \{y\}\]

        sono integrabili per ogni y \in [c,d], allora a funzione y \mapsto \int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x,y) dx è integrabile in [c,d] e vale

        \[\iint_\mathcal D f(x,y) \, dx dy = \int_c^d \left (\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y) \, dx \right )dy .\]

      \[\quad\]

      Dimostrazione. Anche in questo caso dimostriamo solo la prima formula, in quanto per la seconda il ragionamento è analogo.

      Consideriamo c,d \in \mathbb R tali che il rettangolo \mathcal R = [a,b] \times [c,d]\supset \mathcal D. Consideriamo, inoltre, l’estensione \widetilde f di f in \mathcal R definita da

      \[\begin{aligned} \widetilde f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) \quad & \text{se $(x,y) \in \mathcal D$} \\ 0 & \text{se $(x,y) \in \mathcal R \setminus \mathcal D$}. \end{cases} \end{aligned}\]

      Allora, per ogni x \in [a, b] le restrizioni \widetilde f \vert _{R_x} di \widetilde f ai segmenti

      \[R_x :=\{x\}\times[c,d]\]

      sono integrabili in quanto

      \[R_x = \{x\} \times [c,\alpha(x)] \cup \{x\} \times [\alpha(x),\beta(x)] \cup \{x\} \times [\beta(x),d]\]

      e \widetilde f\vert _{R_x} è integrabile su ciascuno dei tre segmenti.

      Dunque possiamo applicare la prima formula di riduzione del teorema 1.1 alla funzione \widetilde f\vert_{\mathcal R_x} : y \mapsto \widetilde f (x,y), da cui segue che la funzione x \mapsto \int_c^d \widetilde{f}|_{R_x}(y) dy è integrabile e quindi lo è la funzione x \mapsto \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y) dy che coincide con essa. Inoltre vale:

      \[\begin{aligned} \iint_\mathcal D f(x,y) \, dx dy =& \iint_\mathcal R \widetilde f(x,y) \, dx dy \\= &\int_a^b \left (\int_c^d \widetilde f(x,y) \, dy \right )dx \\=& \int_a^b \left (\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \, dy \right )dx , \end{aligned}\]

      dove la prima uguaglianza segue dalla definizione di integrale1 di f su \mathcal D, mentre l’ultima segue dal fatto che, sui segmenti [c,\alpha(x)] e [\beta(x),d] la funzione \widetilde{f} è nulla.

      Se nel teorema 1.4 poniamo la funzione f identicamente uguale a 1, otteniamo una formula per il calcolo dell’area del dominio \mathcal D.

      Corollario 1.5. Sia \mathcal D \subset \mathbb R^2 un dominio semplice rispetto all’asse x, allora

      \[\vert \mathcal D \vert := \iint_\mathcal D 1 \, dx dy = \int_a^b (\beta(x) - \alpha(x)) \, dx.\]

      Analogamente, sia \mathcal D \subset \mathbb R^2 un dominio semplice semplice rispetto all’asse y, allora

      \[\vert \mathcal D \vert := \iint_\mathcal D 1 \, dx dy = \int_c^d (\delta(y)-\gamma(y)) \, dy .\]

      \[\quad\]

      1. definizione 2.1, prima parte della dispensa sugli integrali doppi. ↩

      Esempi: calcolo dell'area di un dominio.

      Vediamo, come primo esempio di applicazione delle formule di riduzione, come calcolare l’area di un dominio del piano.

      Esercizio 1.6 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare l’area del dominio

      \[\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, 0 \leq x \leq 1 , \, x^2 \leq y \leq \sqrt x \} .\]

      \[\quad\]

      Soluzione. Il dominio \mathcal D è normale rispetto all’asse x, quindi applicando le formule di riduzione del teorema 1.4 e il teorema fondamentale del calcolo integrale, si ottiene

      \[\begin{aligned} \vert \mathcal D \vert = \iint_\mathcal D \, dxdy=&\int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt x} \, dydx \\=& \int_0^1 (\sqrt x - x^2) \, dx \\=& \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3} \Big \vert_{x=0}^{x=1} - \dfrac{1}{3} x^3 \Big\vert_{x=0}^{x=1} \\=& \dfrac{1}{3} . \end{aligned}\]

      Esercizio 1.7 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare l’area del dominio

      \[\mathcal D = \Big \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, 1 \leq y \leq 2 , \, \frac{y^3+y^2+1}{y^2(y^2+1)} \leq x\leq \frac{2y^2+1}{y(y^2+1)} \Big \} .\]

      \[\quad\]

      Soluzione. Il dominio \mathcal D è normale rispetto all’asse y, quindi

      \[\begin{aligned} \vert \mathcal D \vert =& \iint_\mathcal D \, dxdy \\=&\int_1^2 \int_{\frac{y^3+y^2+1}{y^2(y^2+1)}}^{\frac{2y^2+1}{y(y^2+1)} } \, dxdy . \end{aligned}\]

      Da cui otteniamo

      \[\begin{aligned} \int_1^2 \int_{\frac{y^3+y^2+1}{y^2(y^2+1)}}^{\frac{2y^2+1}{y(y^2+1)} } \, dxdy=& \int_1^2 \frac{2y^2+1}{y(y^2+1)}- \frac{y^3+y^2+1}{y^2(y^2+1)} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{2y^3+y-y^3-y^2-1}{y^2(y^2+1)} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{y^3+y-y^2-1}{y^2(y^2+1)} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{y^2(y-1)+1(y-1)}{y^2(y^2+1)} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{(y^2+1)(y-1)}{y^2(y^2+1)} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{y-1}{y^2} \, dy \\=& \int_1^2 \frac{1}{y}- \frac{1}{y^2}\, dy \\=&\log(y) \big\vert_{y=1}^{y=2}+ \frac{1}{y} \Big\vert_{y=1}^{y=2} \\=& \log(2)-\frac{1}{2}. \end{aligned}\]


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