Rappresentazione di un dominio in R^2

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Questo articolo è dedicato a fornire esempi pratici della rappresentazione di un dominio nel piano cartesiano. Nello studio di funzioni in due variabili o nella risoluzione di integrali doppi, tale step preliminare è essenziale al fine di formarsi un’idea precisa della geometria dell’insieme su cui si sta operando, così da adottare i provvedimenti più opportuni al caso in esame.
Questa raccolta è divisa in due parti:

Nella prima sezione presentiamo 16 esercizi completamente risolti e illustrati su questo argomento;
Nella seconda sezione offriamo al lettore ulteriori 13 esercizi di cui forniamo soltanto il risultato finale, illustrato, per consentirgli di mettersi alla prova e applicare quanto appreso dallo studio della prima parte.

La raccolta è quindi particolarmente indicata per gli appassionati e per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 2, così da affrontare con solide basi lo studio della materia.
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Oltre a Massimi e minimi vincolati – Esercizi – Volume 2, segnaliamo il seguente materiale su argomenti correlati:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Esercizi misti risolti

$\quad$

Esercizio 1.1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 0 \le x \le 1, \, 0\le y \le 1 \right\}.$

Svolgimento.

Graficamente $D$ è rappresentato dalla parte di piano compresa nel quadrato con un vertice nell’origine e lato pari ad uno, giacente nel primo quadrante. Di seguito, in figura 1, rappresentiamo in blu $D$ .

$\quad$

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Figura 1: rappresentazione grafica del dominio $D$ .

Esercizio 1.2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, \dfrac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \right\}.$

Svolgimento.

Il sostegno dell’equazione $\dfrac{x^2}{4}+y^2 =1$ è un’ellisse centrata nell’origine. Per verificare la disuguaglianza $\dfrac{x^2}{4}+y^2 \le 1$ , prendiamo tutti i punti interni al sostegno di tale grafico, compreso il bordo, come in figura 2.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

Figura 2: rappresentazione grafica del dominio $D$ .

Esercizio 1.3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, :\, 0 \le x \le 2, \, 0 \le y \le \sqrt{2x-x^2}\right\}.$

Svolgimento.

Si consideri

$y=\sqrt{2x-x^2}.$

Elevando al quadrato ambo i membri di questa relazione si ottiene

$x^2+y^2-2x=0,$

ovvero una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio pari a $1$ . Dunque, deduciamo che $y=\sqrt{2x-x^2}$ è la parte superiore della semicirconferenza; in altri termini, il sostegno della funzione $y=\sqrt{2x-x^2}$ è il semicerchio delimitato dalla circonferenza di equazione $(x-1)^2+y^2=1$ nel primo quadrante. Graficamente si ha il seguente grafico.