Il problema dei due corpi

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In questo articolo, esploreremo il cosiddetto problema dei due corpi, ossia studieremo la dinamica e il moto di due corpi soggetti solamente alla reciproca attrazione gravitazionale. Per quanto tale sistema fisico possa sembrare semplice, esso è carico di numerose sfumature ed è un modello parecchio utilizzato anche in meccanica celeste, per la descrizione dei moti dei pianeti del sistema solare.
L’articolo è rivolto dunque a studenti e appassionati che desiderano approfondire questo affascinante argomento.

Oltre all’esaustiva lista alla fine della pagina, segnaliamo anche i seguenti articoli su argomenti collegati:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.

Introduzione

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Il problema dei due corpi consiste nella descrizione del moto di due corpi soggetti esclusivamente alla mutua attrazione gravitazionale. Nonostante la semplicità del quesito, la sua soluzione procura un escursus interessante nella fisica classica e nella teoria della gravitazione e delle coniche.

In questo articolo, dopo un breve richiamo alle equazioni differenziali, presentiamo il problema e la sua soluzione completa, mostrando come le soluzioni del problema dei due corpi siano esclusivamente orbite ellittiche, iperboliche o paraboliche. Applichiamo infine i risultati ottenuti a un contesto familiare, quello dei pianeti del sistema solare.

Richiami teorici: equazioni differenziali del secondo ordine

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Consideriamo un’equazione differenziale nella forma

(1) $\begin{equation*} \alpha y''+\beta y'+\gamma y=g(t), \end{equation*}$

dove $a$ , $b$ e $c$ sono delle costanti e $g(t)$ è una generica funzione. L’equazione (1) può sempre essere ricondotta¹ all’equazione

(2) $\begin{equation*} y''+ay'+by=f(t) \end{equation*}$

in cui $a=\dfrac{\beta}{\alpha}$ e $b=\dfrac{\gamma}{\alpha}$ sono coefficienti costanti mentre $f(t)=\dfrac{g(t)}{\alpha}$ . Concentriamoci quindi sulla risoluzione dell’equazione differenziale (2); tale equazione è detta equazione differenziale del secondo ordine, lineare, non omogenea a coefficienti costanti. La soluzione di (2) è della forma

(3) $\begin{equation*} y(t)=y_0(t)+y_p(t), \end{equation*}$

dove $y_0(t)$ è la soluzione dell’equazione omogenea associata, ossia $y''+ay'+b=0$ , e $y_p(t)$ è detta soluzione particolare dell’equazione originale. La risoluzione dell’equazione omogenea associata consiste nel cercare una soluzione del tipo $y_0(t)=e^{\lambda t}$ con $\lambda$ generico numero complesso da determinare. Sostituendo tale espressione nella equazione omogenea, derivando e mettendo in evidenza $e^{\lambda x}$ si ottiene

(4) $\begin{equation*} e^{\lambda x}\left(\lambda ^{2}+a\lambda +b\right)=0; \end{equation*}$

poiché l’esponenziale non si annulla mai, tale equazione si annulla se e solo se

(5) $\begin{equation*} \lambda ^{2}+a\lambda +b=0. \end{equation*}$

Equazione (5) è chiamata equazione caretteristica dell’equazione differenziale omogenea. Se le radici dell’equazione caratteristica sono reali e distinte, ovvero $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\in \mathbb {R}$ , allora la soluzione è della forma

(6) $\begin{equation*} y_0(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}; \end{equation*}$

se sono reali e coincidenti, ovvero $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ , allora la soluzione è della forma

(7) $\begin{equation*} y_0(t)=\left(c_{1}+c_{2} t\right)e^{\lambda _{1}t}, \end{equation*}$

mentre se sono complesse e coniugate, ovvero $\lambda _{1,2}=\rho \pm i\mu\in \mathbb {C}$ , allora la soluzione è della forma:

(8) $\begin{equation*} y_0(t)=e^{\rho t}\left(c_{1}\cos \mu t+c_{2}\sin \mu t\right). \end{equation*}$

Per quanto riguarda la soluzione particolare $y_p(t)$ è, in generale, una buona idea provare con una soluzione particolare della stessa forma di $f(t)$ ma dipendente da un parametro e determinare tale parametro. Ovviamente, esistono vari metodi sistematici che consentono la sua determinazione come, ad esempio, il metodo della variazione delle costanti o il metodo della somiglianza.

Notare che $\alpha$ deve essere diverso da zero altrimenti l’equazione differenziale è del primo ordine. ↩

Problema dei due corpi

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Nel seguito, studieremo il moto di due corpi soggetti alla reciproca interazione gravitazionale. Assumeremo che i corpi abbiano dimensione trascurabile rispetto alla loro distanza, e che le loro masse siano $m_1$ e $m_2$ . Scelto un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ dal quale si osservano i due corpi, per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere quanto segue

(9) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1\,\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}\\[10pt] m_2\,\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r},\\ \end{cases} \end{equation*}$

dove $\vec{r_1}$ e $\vec{r}_2$ sono rispettivamente la distanza di $m_1$ e $m_2$ da $O$ . Nella figura 1 rappresentiamo il sistema di riferimento scelto $Oxy$ e il centro di massa del sistema dei due corpi.

$\quad$

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Figura 1: rappresentazione di due corpi di massa $m_1$ ed $m_2$ ed il centro di massa in un sistema di riferimento $Oxy$ .

$\quad$

Applicando il metodo del parallelogramma, come rappresentato nella figura 2 si vede che $\vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r}$ .

$\quad$

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Figura 2: applicazione della regola dal parallelogramma per calcolare $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ .

$\quad$

Riscriviamo il sistema (9) come segue

(10) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{m_1\,r^2}\,\hat{r}\\[10pt] \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{m_2\,r^2}\,\hat{r}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Sottraendo membro a membro, i termini della seconda equazione e prima equazione del sistema (10) si ottiene

(11) $\begin{equation*} -\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}+\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=\left(-G\dfrac{m_1\,m_2}{m_2\,r^2}-G\dfrac{m_1\,m_2}{m_1\,r^2}\right)\,\hat{r}, \end{equation*}$

o anche

(12) $\begin{equation*} \dfrac{d^2(-\vec{r}_1+\vec{r}_2)}{dt^2}=-G\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)\hat{r}. \end{equation*}$

Definendo massa ridotta la quantità $\mu$ tale per cui valga

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(13) $\begin{equation*} \dfrac{1}{\mu}=\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}, \end{equation*}$

è possibile riscrivere la precedente relazione nel modo che segue

(14) $\begin{equation*} \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{\mu\,r^2}\,\hat{r} \end{equation*}$

oppure

(15) $\begin{equation*} \mu\,\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}. \end{equation*}$

Si osservi che abbiamo ricondotto il problema dei due corpi a quello di un solo corpo di massa $\mu$ in cui la massa ridotta è l’effettiva massa inerziale nel problema dei due corpi. In altri termini, dal punto di vista fisico-matematico, il problema (10) di due corpi $m_1$ e $m_2$ sogetti a una forza² e il problema (15) di un corpo di massa $\mu$ sogetto alla medesima forza sono del tutto equivalenti³. Osserviamo dall’equazione (15) che la massa $\mu$ è soggetta ad una forza centrale del tipo $-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}$ , pertanto, si conserva il momento angolare di tale forza rispetto al polo $O$ , da cui deduciamo che il moto della massa $\mu$ avviene in un piano fisso. L’equazione (15) può essere riscritta in modo differente applicando la formula di Binet. Sia $L$ il momento angolare della forza $-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}$ ; abbiamo dunque

(16) $\begin{equation*} \mu\dfrac{d^2r}{dt^2}=\mu\,\left(-\dfrac{L^2}{\mu^2r^2}\right)\,\left[\dfrac{d^2}{d\theta^2}\,\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right]\,\hat{r}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}$

da cui

(17) $\begin{equation*} \dfrac{\mu\,L^2}{\mu^2r^2}\left[\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right]=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}, \end{equation*}$

cioè

(18) $\begin{equation*} \dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}=\mu\,G\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}. \end{equation*}$

L’equazione (18) è della forma

(19) $\begin{equation*} y''+y=\text{costante}, \end{equation*}$

in cui $y=\frac{1}{r}$ e le derivate sono rispetto a $\theta$ . Nella sezione seguente sono presentati alcuni richiami teorici utili alla risoluzione dell’equazione (18) e quindi dell’equazione (19).

L’equazione caratteristica dell’equazione (19) è

(20) $\begin{equation*} \lambda^2+1=0 \end{equation*}$

che ha come soluzioni

(21) $\begin{equation*} \lambda=\pm i, \end{equation*}$

dove $i$ è l’unità immaginaria; la soluzione dell’equazione omogenea associata è

(22) $\begin{equation*} y_0(\theta)=c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta). \end{equation*}$

Per quanto riguarda la soluzione particolare, proviamo con $y_p(\theta)=A$ , dove $A$ è una costante da determinare. Derivando due volte $y_p(\theta)$ si trova $y_0''(0)=0$ e sostituendo nella (18) si ottiene $A=\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}$ . La soluzione dell’equazione è data dalla somma della soluzione dell’equazione caratteristica e quella particolare, ovvero

(23) $\begin{equation*} y(\theta)=y_0(\theta)+y_p(\theta)=c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta)+\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}. \end{equation*}$

Pertanto la soluzione è

(24) $\begin{equation*} \dfrac{1}{r}=c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta)+\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}. \end{equation*}$

Il moto di una particella in un campo gravitazionale è descritto nel caso più generale possibile dall’equazione delle coniche

(25) $\begin{equation*} r=\dfrac{\varepsilon\,d}{1-\varepsilon\,\cos(\theta-\theta_0)}, \end{equation*}$

Questo vale anche per la particella di massa efficace $\mu$ trattata in questo paragrafo. Possiamo quindi sfruttare la (25) per trovare i valori dei parametri liberi $c_1$ e $c_2$ della soluzione (24). Mettiamo quindi a sistema l’equazione (25) e l’equazione (24), cioè

(26) $\begin{equation*} \begin{cases} &\dfrac{1}{r}=-\dfrac{\cos(\theta-\theta_0)}{d}+\dfrac{1}{\varepsilon\,d}\\[10pt] &\dfrac{1}{r}=c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta)+\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}, \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(27) $\begin{equation*} c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta)+\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}=-\dfrac{\cos(\theta-\theta_0)}{d}+\dfrac{1}{\varepsilon\,d}, \end{equation*}$

o anche

(28) $\begin{equation*} c_1\,\cos(\theta)+c_2\,\sin(\theta)+\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}=-\dfrac{\cos \theta_0}{d}\,\cos\theta-\dfrac{\sin\,\theta_0}{d}\,\sin\,\theta+\dfrac{1}{\varepsilon\,d}, \end{equation*}$

e quindi

(29) $\begin{equation*} \begin{cases} &c_1=-\dfrac{\cos\,\theta_0}{d}\\[10pt] &c_2=-\dfrac{\sin\,\theta_0}{d}\\[10pt] &\mu\,G\,\dfrac{m_1\,m_2}{L^2}=\dfrac{1}{\varepsilon\,d}. \end{cases} \end{equation*}$

In altri termini, $\mu$ può muoversi di moto parabolico, ellittico o iperbolico rispetto a $O$ .

Osserviamo che non sono presenti forze esterne nel sistema fisico composto delle due masse, pertanto il sistema è isolato. Segue che il centro di massa delle due masse si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete. È chiaro che il moto del sistema è determinato esclusivamente dalle condizioni iniziali che hanno le due masse, ovvero se il sistema all’istante iniziale è in quiete il centro di massa rimane in quiete per ogni istante $t>0$ rispetto al sistema di riferimento inerziale, altrimenti si muove di moto rettilineo uniforme.

Senza perdita di generalità assumiamo che il centro di massa CM sia in quiete per $t=0$ rispetto al sistema di riferimento inerziale $Oxy$ , tale che $\text{CM}\equiv O$ , come rappresentato nella figura 3.

$\quad$

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Figura 3: sistema di due corpi di massa $m_{1}$ e $m_{2}$ in un sistema di riferimento $Oxy$ in cui l’origine coincide con il centro di massa.

$\quad$

Sappiamo che

(30) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}\\[10pt] \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r},\\ \end{cases} \end{equation*}$

in cui $\hat{r}$ è il versore nella direzione della conguingente tra i due corpi il cui verso è dal corpo $m_1$ al corpo $m_2$ . In tale sistema di riferimento vale che

(31) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2=0\\ \vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}$

Risolvendo rispetto a $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ , si ottiene

(32) $\begin{equation*} \begin{cases} \vec{r}_1=-\dfrac{m_2\,\vec{r}}{m_1+m_2}\\[10pt] \vec{r}_2=\dfrac{m_1\,\vec{r}}{m_1+m_2}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Osserviamo che $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ dipendono da $\vec{r}$ , pertanto deduciamo che anche $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ descrivono un’orbita conica; in altri termini, scelto un sistema di riferimento solidale con il centro di massa, da tale sistema si vede che i corpi $m_1$ e $m_2$ descrivono un’orbita conica.

Di seguito alcune osservazioni. Considerando la terza equazione del sistema (29) si ha che

(33) $\begin{equation*} \dfrac{1}{\varepsilon\,d}=\dfrac{\mu\,G\,m_1\,m_2}{L^2}, \end{equation*}$

cioè $L^2=\mu\,G\,m_1\,m_2\,\varepsilon\,d$ , ovvero il momento angolare della forza $-G\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}$ . L’energia totale del sistema composto dalle due masse è

(34) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ sono le velocità rispetto al sistema di riferimento inerziale. Si osservi quanto segue. Siccome il moto dei due corpi $m_1$ e $m_2$ può essere ricondotto a quello di un corpo di massa $\mu$ , allora l’energia cinetica del sistema delle due masse è equivalente a quello della sola massa $\mu$ avente velocità $\vec{v}$ data dall’equazione

(35) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2=\dfrac{1}{2}\,\mu\,v^2, \end{equation*}$

in cui $v$ è il modulo della velocità rispetto al sistema di riferimento inerziale con cui la massa efficace $\mu$ si muove lungo la conica. Dimostriamo l’equazione (35). Sfruttando il sistema (31), si ha

(36) $\begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_2\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right), \end{equation*}$

da cui, derivando ambo i membri della precedente equazione, si ottiene

(37) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}_2}{dt}\,\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\right), \end{equation*}$

da cui

(38) $\begin{equation*} \left| \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right|=\left| \dfrac{d\vec{r}_2}{dt}\right|\,\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_1}\right), \end{equation*}$

dove $\left| \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right|=v$ e $\left|\dfrac{d\vec{r}_2}{dt}\right|=v_2$ .

Ricordando che $\mu=\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}$ e quanto ottenuto nell’equazione (38), si ha

(39) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\,\mu\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2} \dfrac{(m_1+m_2)^2}{m_1^2}v_2^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_2}{m_1}\,(m_1+m_2)\,v_2^2. \end{equation*}$

Dalla prima equazione del sistema (31), abbiamo

(40) $\begin{equation*} m_1\,\dfrac{d\vec{r}_1}{dt}=-m_2\,\dfrac{d\vec{r}_2}{dt}, \end{equation*}$

da cui

(41) $\begin{equation*} m_1\,\left|\dfrac{d\vec{r}_1}{dt}\right|=m_2\,\left|\dfrac{d\vec{r}_2}{dt}\right|, \end{equation*}$

o anche

(42) $\begin{equation*} m_1\,v_1=m_2\,v_2, \end{equation*}$

cioè

(43) $\begin{equation*} v_2=\dfrac{m_1}{m_2}\,v_1. \end{equation*}$

Sfruttando quanto ottenuto si ha

(44) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{1}{2}\,m_1\,v_1^2+\dfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2&=\dfrac{1}{2}\,m_1\,\dfrac{m_2^2}{m_1^2}\,v_2^2+\dfrac{1}{2}m_2\,v_2^2=\\[10pt] &=\dfrac{1}{2}\,m_2\,v_2^2\,\left(\dfrac{m_2+m_1}{m_1}\right)=\\[10pt] &=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_2}{m_1}\,(m_1+m_2)\,v_2^2. \end{split} \end{equation*}$

Confrontando le equazioni (39) e (44) si ottiene la relazione (35), come volevasi dimostrare. Da quanto ottenuto, deduciamo che l’energia totale del sistema delle due masse può essere riscritta come

(45) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{1}{2}\,\mu\,v^2-G\dfrac{m_1\,m_2}{r}. \end{equation*}$

Ricordando che la velocità in coordinate polari è

(46) $\begin{equation*} \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{dr}{dt}\,\hat{r}+r\,\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta}, \end{equation*}$

è possibile riscrivere l’energia totale come

(47) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{1}{2}\mu\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2+\dfrac{1}{2}\mu\,r^2\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r}. \end{equation*}$

La massa ridotta si muove in un campo centrale, quindi, il moto avviene in un piano fisso e il momento angolare si conserva, cioè

(48) $\begin{equation*} L=\mu\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante}. \end{equation*}$

Derivando rispetto al tempo ambo i membri della relazione tra coordinate cartesiane e polari, si ottiene

(49) $\begin{equation*} -\dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{d}\,\sin\,\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}, \end{equation*}$

cioè

(50) $\begin{equation*} \dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{r^2}{d}\,\sin\,\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{\sin\,\theta}{d}\,\dfrac{L}{\mu}, \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato l’equazione (48). Inoltre, si ha

(51) $\begin{equation*} \dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{d}{r^2\sin\,\theta}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{d}{r^2\sin\theta}\left(-\dfrac{\sin\,\theta}{d}\,\dfrac{L}{\mu}\right)=\dfrac{L}{\mu r^2}. \end{equation*}$

Mettendo a sistema le equazioni (47), (50) e (51), si ottiene

(52) $\begin{equation*} \begin{split} E_T&=\dfrac{1}{2}\,\mu\,\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2+\dfrac{1}{2}\,\mu\,r^2\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2-G\,\dfrac{m_1m_2}{r}=\\[10pt] &=\dfrac{1}{2}\mu\,\dfrac{\sin^2\theta}{d^2}\,\dfrac{L^2}{\mu^2}+\dfrac{1}{2}\,\mu r^2\,\dfrac{L^2}{\mu^2r^4}-G\dfrac{m_1m_2}{r}=\\[10pt] &=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{L^2}{\mu\,d^2}\,\sin^2\theta+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{L^2}{\mu\,r^2}-G\dfrac{m_1\,m_2}{r}. \end{split} \end{equation*}$

Infine, ricordando che $L^2=\mu\,G\,m_1m_2\,\varepsilon\,d$ come si ricava dall’equazione (33), si ha

(53) $\begin{equation*} m_1m_2=\dfrac{L^2}{G\mu\varepsilon d}, \end{equation*}$

pertanto

(54) $\begin{equation*} G\dfrac{m_1\,m_2}{r}=\dfrac{L^2}{\mu\,\varepsilon\,d\,r}. \end{equation*}$

Dunque, l’energia totale diventa

(55) $\begin{equation*} E_T=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\sin^2\theta L^2}{d^2\,\mu}+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{L^2}{\mu\,r^2}-\dfrac{L^2}{\mu\,\varepsilon\,d\,r}. \end{equation*}$

Sfruttando nuovamente l’equazione della conica

(56) $\begin{equation*} \dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{\varepsilon\,d}-\dfrac{\cos \theta}{d}, \end{equation*}$

possiamo dunque riscrivere l’energia totale in funzione dei parametri dell’orbita $\varepsilon$ e $d$

(57) $\begin{equation*} \begin{split} E_T&=L^2\left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\sin^2\theta}{d^2\mu}+\dfrac{1}{2\mu}\left(\dfrac{1}{\varepsilon\,d}-\dfrac{\cos \theta}{d}\right)^2-\dfrac{1}{\mu\varepsilon\,d}\left(\dfrac{1}{\varepsilon\,d}-\dfrac{\cos \theta}{d}\right)\right)=\\[10pt] &=\dfrac{G\,\mu\,m_1m_2\,\varepsilon\,d}{\mu d^2}\left(\dfrac{\sin^2\theta}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}-\cos \theta\right)^2-\dfrac{1}{\varepsilon}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}-\cos \theta\right)\right)=\\[10pt] &=\dfrac{G\,m_1m_2\varepsilon}{d}\left(\dfrac{\sin^2\theta}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon^2}+\cos^2\theta-\dfrac{2}{\varepsilon}\cos \theta\right)-\dfrac{1}{\varepsilon^2}+\dfrac{\cos\theta}{\varepsilon}\right) \end{split} \end{equation*}$

da cui, usando l’identità trigonometrica fondamentale $\cos^2 \theta=1- \sin^2 \theta$ , si ottiene

(58) $\begin{equation*} \begin{split} E_T&=\dfrac{G\,m_1m_2\varepsilon}{d}\left(\dfrac{\sin^2\theta}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon^2}+1-\sin^2\theta-\dfrac{2}{\varepsilon}\cos\theta\right)-\dfrac{1}{\varepsilon^2}+\dfrac{\cos\theta}{\varepsilon}\right)=\\[10pt] &=\dfrac{G\,m_1m_2\varepsilon}{d}\left(\dfrac{\sin^2\theta}{2}+\dfrac{1}{2\varepsilon^2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sin^2\theta}{2}-\dfrac{\cos\theta}{\varepsilon}-\dfrac{1}{\varepsilon^2}+\dfrac{\cos\theta}{\varepsilon}\right)=\\[10pt] &=\dfrac{G\,m_1m_2\varepsilon}{d}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\varepsilon^2}\right)=\dfrac{G\,m_1m_2}{2\varepsilon d}\left(\varepsilon^2-1\right). \end{split} \end{equation*}$

È possibile dunque ricavare l’energia totale, che è costante perché la forza agente su $\mu$ è conservativa, dai parametri dell’orbita $\varepsilon$ e $d$ . Viceversa, fissati i valori di $L$ ed $E$ , si possono determinare $\varepsilon$ e $d$ . Si osservi che, grazie alla relazione (58) e alle caratterizzazioni di ellisse, iperbole e parabola, concludiamo che

$\varepsilon>1 \quad \Rightarrow \quad E_T>0$ e l’orbita è iperbolica;
$\varepsilon=1 \quad \Rightarrow \quad E_T=0$ e l’orbita è parabolica;
$0<\varepsilon<1 \quad \Rightarrow \quad E_T<0$ e l’orbita è ellittica.

Nel nostro caso specifico l’interazione gravitazionale ma tale risultato vale per qualunque forza. ↩

È bene tenere a mente due punti importanti. Per prima cosa, al fine di avere una completa equivalenza tra le due descrizioni, è necessario tenere conto, nella descrizione in temini del corpo di massa ridotta, del moto del centro di massa del sistema dei due corpi. Questo perché inizialmente il problema possiede due gradi di libertà (ovvero i due corpi $m_1$ e $m_2$ ) e due gradi di liberta deve avere nella descrizione in termini del corpo di massa ridotta (che sono appunto il corpo $\mu$ e il centro di massa del sistema dei due corpi). Come seconda puntualizzazione, la situazione fisica reale è quella del problema dei due corpi; la descrizione in termini del corpo di massa ridotta e del centro di massa è puramente dovuta a una modellizazzione più conveniente del problema stesso poichè nel caso dei due corpi il moto del centro di massa è uniforme e pertanto contibuisce solo con una costante additiva all’energia del problema. Il problema dei due corpi è quindi ridotto a un problema di singolo corpo. ↩

Moto dei pianeti del sistema solare

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Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che i pianeti si muovono di moto ellittico, pertanto sappiamo che l’energia del sistema pianeta-Sole sarà negativa; quando si considera un sistema come quello composto dal pianeta e dal Sole, si dice che tale sistema è legato. Anche l’orbita di un satellite attorno ad un pianeta è ellittica, pertanto man mano che si muove lungo la sua traiettoria, la sua distanza dal pianeta varia. Ciascuna orbita sarà dunque caratterizzata da due punti che realizzano la massima e la minima distanza tra il satellite e il pianeta; tali punti vengono detti, rispettivamente, apogeo e perigeo:

$\quad$

apogeo deriva dal greco apògeios, composto dalle parole apò (lontano) e geo (Terra), e corrisponde al punto più lontano dal pianeta;

perigeo deriva dal greco perìgeios, composto dalle parole perì (vicino) e geo (Terra), e corrisponde al punto più vicino dal pianeta.

$\quad$

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Figura 4: apogeo e perigeo dell’orbita di un satellite in orbita attorno ad un pianeta.

$\quad$

La linea immaginaria congiungente il perigeo e l’apogeo si definisce linea degli apsidi.

$\quad$

Nota astronomica: apogeo e perigeo della Luna a Luna è l’unico satellite naturale della Terra. Prendiamo come punto di riferimento il centro della Terra e il centro della Luna:

$\quad$

l’apogeo lunare, cioè il punto che realizza la massima distanza tra la Terra e la Luna, è situato a circa $405500$ $\text{km}$ dalla Terra;

il perigeo lunare, cioè il punto che realizza la minima distanza tra la Terra e la Luna, è situato a circa $363300$ $\text{km}$ dalla Terra.

Approssimativamente, la distanza media Terra-Luna si ottiene dalla media aritmetica tra apogeo e perigeo lunare, ed è pari a circa $384400$ $\text{km}$ . Stimata in modo corretto la distanza Terra-Luna risulta essere di circa $385000$ $\text{km}$

$\quad$

Concentriamoci, quindi, sul caso di orbite ellittiche. Dalle equazioni dell’ellisse, si ha

(59) $\begin{equation*} \varepsilon\,d=a\,(1-\varepsilon^2), \end{equation*}$

da cui, è possibile riscrivere l’equazione (33), come segue

(60) $\begin{equation*} L^2=G\,\mu\,m_1m_2\varepsilon\,d=G\,\mu\,m_1m_2\,a\,(1-\varepsilon^2), \end{equation*}$

e la relazione (58), come

(61) $\begin{equation*} E_T=G\dfrac{m_1\,m_2}{2\varepsilon\,d}(\varepsilon^2-1)=G\dfrac{m_1\,m_2}{2\varepsilon\,d}\left(-\dfrac{\varepsilon\,d}{a}\right)=-G\dfrac{m_1\,m_1}{2a}<0. \end{equation*}$

Confrontando le equazioni (60) e (61) per $L$ e $E_T$ , si osserva che, fissato un valore di $a$ , al variare di $0<\varepsilon<1$ , si hanno momenti angolari differenti ma l’energia risulta costante, ovvero, $L$ ed $E_T$ sono tra loro indipendenti.

Nella parte introduttiva abbiamo dimostrato che quando un punto materiale di massa $m$ è soggetto ad una forza centrale, si ha

(62) $\begin{equation*} \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{L}{2m}, \end{equation*}$

dove $dA$ è l’area infinitesima, $L$ è il momento angolare costante e $m$ la massa del punto materiale. Integrando sul periodo, si ha

(63) $\begin{equation*} A=\dfrac{L}{2m}\,T \end{equation*}$

da cui

(64) $\begin{equation*} T=\dfrac{2mA}{L}. \end{equation*}$

Consideriamo il caso di un corpo che si muove di moto ellittico. Sappiamo che l’area dell’ellisse descritta dall’orbita di un corpo attorno a un altro corpo celeste è

(65) $\begin{equation*} A=\pi\,a\,b, \end{equation*}$

che può essere riscritta come

(66) $\begin{equation*} A=\pi\,a\,b=\pi\,a\,(\sqrt{1-\varepsilon^2}\,a)=\pi\,a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}, \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato i risultati pervenuti nella prima equazione delle (154) di Teoria sulla gravitazione. Dunque, sfruttando l’equazione (66) è possibile riscrivere l’equazione (64) come

(67) $\begin{equation*} T=\dfrac{2m}{L}\,\pi\,a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}. \end{equation*}$

da cui

(68) $\begin{equation*} L=\dfrac{2m}{T}\,\pi\,a^2\sqrt{1-\varepsilon^2} \end{equation*}$

La relazione (68) vale per un qualsiasi corpo sottoposto alla forza gravitazionale. Supponiamo ora di valutare la relazione nel caso particolare di una massa efficace $\mu$ derivante dallo studio di un problema a due corpi e inseriamola nell’equazione (60), si ha

(69) $\begin{equation*} \dfrac{4\mu^2}{T^2}\pi^2a^4(1-\varepsilon^2)=G\mu\,m_1m_2a(1-\varepsilon^2) \end{equation*}$

da cui

(70) $\begin{equation*} \dfrac{4\mu}{T^2}\pi^2a^3=G\,m_1\,m_2, \end{equation*}$

o anche

(71) $\begin{equation*} T^2=\dfrac{4\,\mu\,\pi^2a^3}{G\,m_1m_2}. \end{equation*}$

Sfruttando la definizione di massa ridotta è possibile riscrivere l’equazione (71) come segue

(72) $\begin{align*} T^2&=\dfrac{4\mu\pi^2a^3}{G\,m_1m_2}=\dfrac{4\pi^2a^3}{G\,m_1m_2}\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)^{-1}\\[10pt] &=\dfrac{4\pi^2a^3}{G\,m_1m_2}\cdot\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}=\\[10pt] &=\dfrac{4\pi^2a^3}{G(m_1+m_2)}. \end{align*}$

Definendo

(73) $\begin{equation*} k=\dfrac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}, \end{equation*}$

si ha

(74) $\begin{equation*} T=k\,a^3, \end{equation*}$

ovvero la terza legge di Keplero.

Siano $m_1$ e $m_2$ le masse di due corpi celesti. Nell’ipotesi in cui $m_1\gg m_2$ , come nel caso in cui $m_1$ è la massa del Sole e $m_2$ la massa di un generico pianeta, si ha che $k$ è

(75) $\begin{equation*} k=\dfrac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}\approx\dfrac{4\pi^2}{G\,m_1}. \end{equation*}$

Dunque nell’ipotesi $m_1\gg m_2$ l’equazione (75) non dipende da $m_2$ e quindi $k$ è approssimatevamente uguale per tutti i pianeti. La legge di gravitazione universale di Newton è dunque in grado di dimostrare matematicamente le leggi di Keplero ottenute sperimentalmente. Tra le due c’è una relazione biunivoca: partendo dalle leggi di Keplero si dimostra la legge di gravitazione universale, e viceversa. La legge di gravitazione ha validità universale, ed è quindi valida anche per i satelliti di un pianeta. Nel casi di un satellite terrestre artificiale di massa $\tilde{m}$ si ha

(76) $\begin{equation*} k=\dfrac{4\pi^2}{G(m_T+\tilde{m})}\approx\dfrac{4\pi^2}{G\,m_T}\approx9\text{,}87\cdot10^{-14}\,\text{s}^2\,\text{m}^{-3}, \end{equation*}$

essendo la massa del satellite trascurabile rispetto alla massa terrestre $m_T$ .

Un esercizio svolto sul problema dei due corpi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Ad un certo istante un corpo celeste di massa $m$ si trova ad una distanza $R$ dal centro del Sole e si muove con una velocità che forma un angolo $\theta_0=60^{\circ}$ rispetto alla retta congiungente il corpo con il Sole (si veda la figura 5). L’energia meccanica totale associata a tale corpo è nulla in ogni istante. Si dica che tipo di traiettoria descrive il corpo celeste e si calcoli la minima distanza dal centro del Sole alla quale arriva $m$ .

$\quad$

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Figura 5: sistema composto dal Sole e da un corpo celeste di massa $m$ .

$\quad$

Svolgimento.

La traiettoria del corpo rispetto al centro del Sole è parabolica dato che l’energia complessiva è nulla in ogni istante. Il corpo celeste è soggetto soltanto alla forza di gravitazione universale, pertanto la sua energia e il suo momento angolare si conservano in ogni istante. Consideriamo l’istante di tempo iniziale in cui il corpo celeste ha una velocità di modulo $v_i$ formante un angolo $\theta$ con la congiungente con il centro del Sole. In tale istante l’energia totale è

(77) $\begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}mv_i^2-\dfrac{G\,m\,m_S}{R}=0. \end{equation*}$

Consideriamo l’istante di tempo in cui il corpo celeste si trova alla distanza minima dal Sole che chiameremo $d_{\text{min}}$ ; in tale istante il modulo della velocità è $v_f$ . L’energia totale quando il corpo si trova alla distanza $d_{\text{min}}$ è

(78) $\begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}v_f^2-\dfrac{G\,m_S\,m}{d_{\text{min}}}. \end{equation*}$

Per la conservazione dell’energia si ha

(79) $\begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}$

ovvero

(80) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_i^2-\dfrac{G\,m\,m_S}{R}=\dfrac{1}{2}v_f^2-\dfrac{G\,m_S\,m}{d_{\text{min}}}. \end{equation*}$

Quando il corpo si troverà alla distanza minima, starà passando per il vertice della parabola di cui il fuoco è rappresentato dal Sole, e la velocità sarà puramente trasversa, ossia ortogonale alla congiungente che collega il corpo con il sole:

$\quad$

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Figura 6: sistema dei due corpi nel momento in cui il corpo di massa $m$ si trova alla distanza minima $d_{\text{min}}$ dal Sole.

$\quad$

Dunque il momento angolare iniziale sarà

(81) $\begin{equation*} L_i=m\,R\,v_i\,\sin\theta \end{equation*}$

e quello finale

(82) $\begin{equation*} L_f=m\,d_{\text{min}}\,v_f, \end{equation*}$

poiché la velocità è ortogonale alla congiungente che collega il corpo con il sole, ossia $\sin \theta =1$ . Dalla conservazione del momento angolare $L_i=L_f$ , si ha

(83) $\begin{equation*} m\,R\,v_i\,\sin \theta=m\,d_{\text{min}}\,v_f, \end{equation*}$

ovvero

(84) $\begin{equation*} v_i\,R\,\sin \theta=d_{\text{min}}\,v_f. \end{equation*}$

Mettendo a sistema le equazioni (77), (78), e (84), si ottiene

(85) $\begin{equation*} \begin{cases} v_i\,R\,\sin \theta=d_{\text{min}}\,v_f\\[10pt] \dfrac{G\,m\,m_S}{R}=\dfrac{1}{2}\,m\,v_i^2\\[10pt] \dfrac{G\,m\,m_S}{d_{\text{min}}}=\dfrac{1}{2}\,m\,v_f^2.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Dalla seconda equazione del sistema (85) si ricava

(86) $\begin{equation*} v_i=\sqrt{\dfrac{{2\,G\,m_S}}{{R}}}, \end{equation*}$

mentre dalla terza equazione si trova che

(87) $\begin{equation*} v_f=\sqrt{\dfrac{{2\,G\,m_S}}{{d_{\text{min}}}}}. \end{equation*}$

Inserendo tali espressioni per $v_i$ e $v_f$ nella prima equazione del medesimo sistema, si ottiene

(88) $\begin{equation*} \sqrt{\dfrac{2G\,m_S}{R}}\,R\,\sin \theta=\sqrt{\dfrac{2\,G\,m_S}{d_{\text{min}}}}\,d_{\text{min}}, \end{equation*}$

da cui $R\,\sin^2 \theta=d_{\text{min}}$ , ovvero, per $\theta=60^{\circ}$

(89) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ d_{\text{min}}=R\,\sin^2 \theta=\dfrac{3}{4}\,R. } \end{equation*}$

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