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Equazione di Binet. Sia un punto materiale di massa m soggetto ad una forza centrale di modulo F(r), con r distanza tra il punto materiale e il centro O. Allora è possibile esprimere la sua accelerazione \vec{a} in funzione della sola distanza r, cioè:

(1)   \begin{equation*} \vec{a}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right)\hat{r}, \end{equation*}

dove L è il momento angolare e \hat{r} è il versore introdotto per indicare la direzione radiale.

 

Dimostrazione. Un corpo soggetto ad una forza centrale ha momento angolare L costante. L’espressione che descrive il momento angolare è

(2)   \begin{equation*} L=m\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}. \end{equation*}

Esprimiamo l’accelerazione del punto materiale m in coordinate polari:

(3)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\hat{r}+\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dfrac{d\theta}{dt}\right)\hat{\theta} \end{equation*}

dove \hat{\theta} è il versore introdotto per indicare una direzione perpendicolare alla direzione di \hat{r} (vedere figura 1 e 2), in altri termini \hat{\theta} è il versore trasverso. Si osservi che i versori \hat{r} e \hat{\theta} cambiano direzione durante il moto del punto materiale di massa m istante per istante. Inoltre, si osservi che siccome il momento angolare è costante il moto del punto materiale m avviene in un piano fisso.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

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Poiché

(4)   \begin{equation*} r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante} \end{equation*}

risulta

(5)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\text{costante}\right)=0, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\hat{r}. \end{equation*}

Quindi l’accelerazione ha solo direzione radiale. Ora, dobbiamo cercare di esprimere la variabile radiale dell’accelerazione solo in funzione della variabile r. Per fare ciò, ci avvaliamo della nota formula della catena o formula di Faà di Bruno[1]., cioè

(7)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\,\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito d\theta/dt=L/mr^2.
Dalla (2) si ha

(8)   \begin{equation*} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{L}{mr^2}, \end{equation*}

da cui, derivando ambo i membri rispetto alla variabile t, si ottiene

(9)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2} \right); \end{equation*}

ora, sfruttando nuovamente la regola della catena, si ha

(10)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2} \right)=\dfrac{L}{m}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\,\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right), \end{equation*}

dove abbiamo sfruttando nuovamente d\theta/dt=L/mr^2 nel penultimo passaggio.
Dunque, sostituendo l’epressione di {d^2\theta}/{dt^2} espressa dalla (10) in (7), si trova

(11)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\,\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\,\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\right). \end{equation*}

Notiamo quanto segue

(12)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{d\theta^2}\,\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(-\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right), \end{equation*}

per cui

(13)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right). \end{equation*}

Sfruttando la (13) allora la (6) diventa

(14)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\,\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\left(\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+r\,\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right)\hat{r}, \end{equation*}

che è esattamente quello che volevamo ottenere.

 

 

1. La regola della catena permette di derivare una funzione composta di due funzioni derivabili.
Regola della catena per la derivata prima e seconda. Siano f e g di classe \mathcal{C}^{2}, allora

    \[\begin{aligned} &\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dx};\\ & \dfrac{d^2f}{dx^2} = \dfrac{d^2f}{dg^2} \left(\dfrac{dg}{dx}\right)^2+ \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{d^2g}{dx^2}.\end{aligned}\]

Tale regola si generalizza con derivate di qualsiasi ordine per funzioni derivabili almeno fino a tale ordine con la nota formula di Faà di Bruno.