Problema dei due corpi

Gravitazione in Meccanica classica

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Nel seguito, studieremo il moto di due corpi soggetti a reciproca interazione. Nello specifico, tratteremo il caso dell’interazione gravitazionale [1]. Assumeremo che i corpi abbiano dimensione ttrascurabile rispetto alla reciproca distanza, e che le loro masse siano m_1 ed m_2.

Scelto un sistema di riferimento inerziale Oxy rispetto al quale si osservano i due corpi, per la seconda legge della dinamica [2] si ha:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} m_1\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}\\\\ m_2\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}, \end{cases} \end{equation*}

dove i corpi di massa m_1 ed m_2 si trovano alle posizioni \vec{r}_1 ed \vec{r}_2 rispetto ad O, rispettivamente, ed \vec{r} è la posizione relativa tra i due corpi. In figura 1 rappresentiamo le masse, le rispettive posizioni rispetto ad O e la posizione del loro centro di massa c.m..

 

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Riscriviamo (1) ottenendo

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}\\\\ \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r} \end{cases} \end{equation*}

e sottraiamo membro a membro le equazioni (2)_2 e (2)_1, arrivando a

(3)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\left( \vec{r}_2- \vec{r}_1\right) }{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r}. \end{equation*}

Per il metodo del parallelogramma o punto coda si osserva che

(4)   \begin{equation*} \vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r} \end{equation*}

e confrontando (3) con (4) abbiamo

(5)   \begin{equation*}% \begin{aligned} &\dfrac{d^2\left( \vec{r}_2- \vec{r}_1\right) }{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r}\\\\% \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ %&\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \, \hat{r} \end{aligned} \end{equation*}

dunque

(6)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\vec{r} }{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \, \hat{r}. \end{equation*}

Risulta conveniente introdurre la massa ridotta \mu, definita in modo che

(7)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\mu}=\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \Leftrightarrow \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \end{equation*}

così da riscrivere (6) come

(8)   \begin{equation*} %\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\dfrac{1}{\mu} \, \hat{r} %\quad \Leftrightarrow \quad \mu \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}. \end{equation*}

Abbiamo dunque ricondotto il problema di due corpi a quello ad un solo corpo in un campo gravitazionale centrale. Si noti che, espresso nella coordinata \vec{r}, la nuova versione è un sistema “fittizio”, cioè un artificio matematico la cui soluzione rispecchia quella di un problema ad un corpo. Si noti che l’equazione (8) si può riscrivere come:

(9)   \begin{equation*} \mu \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\dfrac{G\mu(m_1+m_2)}{r^2} \, \hat{r}. \end{equation*}

In questa forma, si può affermare che il problema a due corpi si riconduce al problema (fittizio) a un solo corpo, di massa pari alla massa ridotta \mu, sotto l’azione di un potenziale gravitazionale equivalente a quello generato dalla massa totale del sistema.

Risolvendo le equazioni del moto, si trova quindi \vec{r}(t), che risulterà essere una conica. Per ricostruire la posizione dei due corpi \vec{r}_1(t) ed \vec{r}_2(t) si può procedere come segue. Sommando le due equazioni (1), si ottiene:

    \[m_1\frac{d^2\vec{r}_1}{dt^2} + m_2\frac{d^2\vec{r}_2}{dt^2} = 0,\]

e tendendo conto della definizione di centro di massa, la cui posizione è \vec{r}_\text{cm} = (m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2)/(m_1+m_2):

    \[\frac{d^2}{dt^2} \left(m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2\right) = (m_1+m_2)\frac{d^2\vec{r}_\text{cm}}{dt^2} = 0,\]

e quindi:

    \[\frac{d^2\vec{r}_\text{cm}}{dt^2} = 0.\]

Questo risultato indica che l’accelerazione del centro di massa è nulla, quindi esso è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Abbiamo ritrovato il noto risultato che il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme. Possiamo a questo punto determinare le posizioni \vec{r}_1 ed \vec{r}_2 in funzione di \vec{r} e \vec{r}_\text{cm}:

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{r} = \vec{r}_2-\vec{r}_1 \\[10pt] \vec{r}_\text{cm} = \dfrac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2} \end{cases} \implies \begin{cases} \vec{r}_1 = \vec{r}_\text{cm} + \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\\[10pt] \vec{r}_2 = \vec{r}_\text{cm} - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}

Si vede che le orbite di m_1 ed m_2 sono la soluzione del problema ad un corpo (8), ma ciascuna riscalata opportunamente e centrata attorno alla posizione del centro di massa. Se in particolare si sceglie l’origine O del sistema di riferimento coincidente col centro di massa, si ottiene la soluzione semplificata:

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{r}_1 = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\\[10pt] \vec{r}_2 = - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}

Per esempio, in un sistema stellare un pianeta e la stella percorrono entrambi traiettorie ellittiche, ciascuna con il fuoco nel centro di massa.

Nel caso in cui una delle due masse sia molto maggiore dell’altra (come nel caso di una stella e di un pianeta), la massa ridotta è approssimativamente uguale a quella del corpo più piccolo. Se m_1 \gg m_2, per la (7) si ha m_1 + m_2 \approx m_1 e quindi \mu \approx m_2. Inoltre, prendendo i moduli e dividendo membro a membro le due equazioni (11), si vede che r_1/r_2 = (m_2/m_1) \ll 1. Questo indica che la posizione del corpo di massa maggiore coincide approssimativamente con il centro di massa. Questo fatto giustifica la trattazione del moto di un satellite attorno ad un oggetto di massa molto maggiore come se fosse un problema ad un solo corpo. Per esempio, la massa del Sole è circa 330\,000 volte superiore a quella della Terra. Se r \approx \text{1,5}\cdot10^8} km è la distanza (media) Terra-Sole, il centro di massa del sistema si trova ad una distanza \approx r/330\,000 \approx 450 km dal centro del Sole, ovvero quasi coincidente con esso (per referenza, il raggio del Sole è di \approx 700\,000 km).

Osservazione. Nella trattazione presentata sopra, abbiamo assunto che l’interazione tra le masse m_1 ed m_2 fosse quella gravitazionale. In realtà, il procedimento si estende ad un’arbitraria forza tra le due masse, a condizione che dipenda solo dalla loro separazione e sia diretta lungo la loro congiungente.

 

Osservazioni e richiami di teoria.

 

1. La legge di gravitazione universale afferma che, date due masse qualsiasi m_1 e m_2, di dimensioni trascurabili rispetto alla loro mutua distanza, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la loro retta congiungente, il cui modulo è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r:

    \[\vec{F}_{1,2}=-G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}\]

dove G è la costante di gravitazione universale, che non dipende dai valori delle masse e dalla geometria del sistema, ma è determinata dall’intensità dell’interazione gravitazionale, ed è pari a

    \[G = \text{6,67} \cdot 10^{-11}\; \; \mathrm{m}^3 \cdot\mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-2}.\]

 

2. Il secondo principio della dinamica afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale è pari alla derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

    \[\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt},\]

dove \vec{P} = m\dfrac{d\vec{r}}{dt} è la quantità di moto del corpo.