Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Il problema dei due corpi

Gravitazione in Meccanica classica

Home » Il problema dei due corpi

In questo articolo, esploreremo il cosiddetto problema dei due corpi, ossia studieremo la dinamica e il moto di due corpi soggetti solamente alla reciproca attrazione gravitazionale. Per quanto tale sistema fisico possa sembrare semplice, esso è carico di numerose sfumature ed è un modello parecchio utilizzato anche in meccanica celeste, per la descrizione dei moti dei pianeti del sistema solare.
L’articolo è rivolto dunque a studenti e appassionati che desiderano approfondire questo affascinante argomento.

Oltre all’esaustiva lista alla fine della pagina, segnaliamo anche i seguenti articoli su argomenti collegati:

Buona lettura!

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente un breve elaborato relativo al problema dei due corpi nella gravitazione per il corso di fisica 1.

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani.  

 

Nel seguito, studieremo il moto di due corpi soggetti a reciproca interazione. Nello specifico, tratteremo il caso dell’interazione gravitazionale 1. Assumeremo che i corpi abbiano dimensione trascurabile rispetto alla reciproca distanza, e che le loro masse siano m_1 ed m_2.

Scelto un sistema di riferimento inerziale Oxy rispetto al quale si osservano i due corpi, per la seconda legge della dinamica 2 si ha:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} m_1\dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}\\\\ m_2\dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}, \end{cases} \end{equation*}

dove i corpi di massa m_1 ed m_2 si trovano alle posizioni \vec{r}_1 ed \vec{r}_2 rispetto ad O, rispettivamente, ed \vec{r} è la posizione relativa tra i due corpi. In figura 1 rappresentiamo le masse, le rispettive posizioni rispetto ad O e la posizione del loro centro di massa c.m..

 

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1.

 
 

Riscriviamo (1) ottenendo

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}=\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}\\\\ \dfrac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}=-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r} \end{cases} \end{equation*}

e sottraiamo membro a membro le equazioni (2)_2 e (2)_1, arrivando a

(3)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\left( \vec{r}_2- \vec{r}_1\right) }{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r}. \end{equation*}

Per il metodo del parallelogramma o punto coda si osserva che

(4)   \begin{equation*} \vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r} \end{equation*}

e confrontando (3) con (4) abbiamo

(5)   \begin{equation*}% \begin{aligned} &\dfrac{d^2\left( \vec{r}_2- \vec{r}_1\right) }{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{1}{m_1}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}-\dfrac{1}{m_2}\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\, \hat{r}\\\\% \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ %&\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \, \hat{r} \end{aligned} \end{equation*}

dunque

(6)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\vec{r} }{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \, \hat{r}. \end{equation*}

Risulta conveniente introdurre la massa ridotta \mu, definita in modo che

(7)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\mu}=\left(\dfrac{1}{m_2}+\dfrac{1}{m_1} \right) \Leftrightarrow \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \end{equation*}

così da riscrivere (6) come

(8)   \begin{equation*} %\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\dfrac{1}{\mu} \, \hat{r} %\quad \Leftrightarrow \quad \mu \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \, \hat{r}. \end{equation*}

Abbiamo dunque ricondotto il problema di due corpi a quello ad un solo corpo in un campo gravitazionale centrale. Si noti che, espresso nella coordinata \vec{r}, la nuova versione è un sistema “fittizio”, cioè un artificio matematico la cui soluzione rispecchia quella di un problema ad un corpo. Si noti che l’equazione (8) si può riscrivere come:

(9)   \begin{equation*} \mu \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\dfrac{G\mu(m_1+m_2)}{r^2} \, \hat{r}. \end{equation*}

In questa forma, si può affermare che il problema a due corpi si riconduce al problema (fittizio) a un solo corpo, di massa pari alla massa ridotta \mu, sotto l’azione di un potenziale gravitazionale equivalente a quello generato dalla massa totale del sistema.

Risolvendo le equazioni del moto, si trova quindi \vec{r}(t), che risulterà essere una conica. Per ricostruire la posizione dei due corpi \vec{r}_1(t) ed \vec{r}_2(t) si può procedere come segue. Sommando le due equazioni (1), si ottiene:

    \[m_1\frac{d^2\vec{r}_1}{dt^2} + m_2\frac{d^2\vec{r}_2}{dt^2} = 0,\]

e tendendo conto della definizione di centro di massa, la cui posizione è \vec{r}_\text{cm} = (m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2)/(m_1+m_2):

    \[\frac{d^2}{dt^2} \left(m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2\right) = (m_1+m_2)\frac{d^2\vec{r}_\text{cm}}{dt^2} = 0,\]

e quindi:

    \[\frac{d^2\vec{r}_\text{cm}}{dt^2} = 0.\]

Questo risultato indica che l’accelerazione del centro di massa è nulla, quindi esso è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Abbiamo ritrovato il noto risultato che il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme. Possiamo a questo punto determinare le posizioni \vec{r}_1 ed \vec{r}_2 in funzione di \vec{r} e \vec{r}_\text{cm}:

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{r} = \vec{r}_2-\vec{r}_1 \\[10pt] \vec{r}_\text{cm} = \dfrac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2} \end{cases} \implies \begin{cases} \vec{r}_1 = \vec{r}_\text{cm} + \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\\[10pt] \vec{r}_2 = \vec{r}_\text{cm} - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}

Si vede che le orbite di m_1 ed m_2 sono la soluzione del problema ad un corpo (8), ma ciascuna riscalata opportunamente e centrata attorno alla posizione del centro di massa. Se in particolare si sceglie l’origine O del sistema di riferimento coincidente col centro di massa, si ottiene la soluzione semplificata:

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{r}_1 = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\\[10pt] \vec{r}_2 = - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}. \end{cases} \end{equation*}

Per esempio, in un sistema stellare un pianeta e la stella percorrono entrambi traiettorie ellittiche, ciascuna con il fuoco nel centro di massa.

Nel caso in cui una delle due masse sia molto maggiore dell’altra (come nel caso di una stella e di un pianeta), la massa ridotta è approssimativamente uguale a quella del corpo più piccolo. Se m_1 \gg m_2, per la (7) si ha m_1 + m_2 \approx m_1 e quindi \mu \approx m_2. Inoltre, prendendo i moduli e dividendo membro a membro le due equazioni (11), si vede che r_1/r_2 = (m_2/m_1) \ll 1. Questo indica che la posizione del corpo di massa maggiore coincide approssimativamente con il centro di massa. Questo fatto giustifica la trattazione del moto di un satellite attorno ad un oggetto di massa molto maggiore come se fosse un problema ad un solo corpo. Per esempio, la massa del Sole è circa 330\,000 volte superiore a quella della Terra. Se r \approx \text{1,5}\cdot10^8} km è la distanza (media) Terra-Sole, il centro di massa del sistema si trova ad una distanza \approx r/330\,000 \approx 450 km dal centro del Sole, ovvero quasi coincidente con esso (per referenza, il raggio del Sole è di \approx 700\,000 km).

 

Osservazione. Nella trattazione presentata sopra, abbiamo assunto che l’interazione tra le masse m_1 ed m_2 fosse quella gravitazionale. In realtà, il procedimento si estende ad un’arbitraria forza tra le due masse, a condizione che dipenda solo dalla loro separazione e sia diretta lungo la loro congiungente.

 

Sfruttando (6) e tenendo conto di (1)_1 e (1)_2 si può determinare il moto di m_1 e m_2. Inoltre osserviamo che nel sistema non sono presenti forze esterne quindi o il moto del centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o al più il centro di massa rimane fermo; ciò dipende dalle condizioni iniziali del problema. Ad ogni modo si può sempre scegliere un opportuno sistema di riferimento inerziale solidale con il centro di massa in modo tale da porre uguale a zero la velocità del centro di massa.

 
 

    \[\]

  1. La legge di gravitazione universale afferma che date due masse qualsiasi m_1 e m_2, di dimensioni trascurabili rispetto alla loro mutua distanza, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la loro retta congiungente, il cui modulo è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente al quadrato della loro distanza:

        \[\vec{F}_{1,2}=-G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}\]

    dove G è la costante di gravitazione universale, che non dipende dai valori delle masse e dalla geometria del sistema, ma è determinata dall’intensità dell’interazione gravitazionale, ed è pari a

        \[G = \text{6,67} \cdot 10^{-11}\; \; \mathrm{m}^3 \cdot\mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-2}.\]

    ↩

  1. Il secondo principio della dinamica afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale è pari alla derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

        \[\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt},\]

    dove \vec{P} = m\dfrac{d\vec{r}}{dt} è la quantità di moto del corpo. ↩

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






    Document