Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni

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Una successione convergente è sicuramente limitata; il viceversa di tale risultato è falso. Consideriamo ad esempio la successione di termine $n$ -esimo $a_n=(-1)^n\qquad\forall n\in\mathbb{N}$ ; questa è ovviamente limitata; infatti $|a_n|=\left|(-1)^n\right|\leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Essa non è però convergente in quanto le due sottosuccessioni $b_k=(-1)^{2k}$ e $c_k=(-1)^{2k+1}$ hanno valori costanti e pari rispettivamente a $1$ e $-1$ .

Il teorema di Bolzano-Weierstrass consiste in una parziale inversione del teorema di limitatezza delle successioni convergenti, affermando che ogni successione limitata possiede sempre una sottosuccessione convergente. Dunque, il viceversa del teorema di limitatezza vale a meno di passare a un’opportuna estratta della successione iniziale.

In questo articolo proponiamo due dimostrazioni di questo risultato: la prima fa uso del teorema sull’esistenza di estratte monotone, mentre la seconda è più costruttiva e intuitiva, anche se leggermente più articolata.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione limitata. Allora $a_n$ possiede una sottosuccessione convergente.

Se inoltre $a_n$ è a valori in un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ chiuso, allora l’estratta converge a un elemento di $A$ .

Dimostrazione.

Consideriamo una successione limitata $a_n$ , allora essa ammette una sottosuccessione monotona $a_{n_k}$ . Allora questa sottosuccessione ammette limite $\ell$ . Inoltre, essendo $a_{n_k}$ una sottosuccessione di una successione limitata, anch’essa è limitata. Di conseguenza, deduciamo che $a_{n_k}$ , essendo una successione monotona e limitata, converge a un numero reale $\ell$ .

L’ultima affermazione segue immediatamente dal fatto che se $A$ è un insieme chiuso allora ogni successione $a_n$ a valori in $A$ convergente a un numero reale $\ell$ , allora $\ell\in A$ ¹.

Dimostrazione alternativa del teorema 1.

Cominciamo osservando che, poiché per ipotesi la successione $a_n$ è limitata, esistono $b,c \in \mathbb{R}$ tali che

(1) $\begin{equation*} b \leq a_n \leq c \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

L’idea della dimostrazione consiste nel costruire per ricorrenza una successione “decrescente” $[b_k,c_k]$ di intervalli (ossia con la proprietà che $[b_{k+1},c_{k+1}] \subset [b_k,c_k]$ ) dimezzando ogni volta l’intervallo precedente in modo tale che ognuno contenga infiniti termini della successione, e di costruire la sottosuccessione $\{a_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ selezionando l’elemento $a_{n_k}$ dall’intervallo $[b_k,c_k]$ , ottenendo quindi

(2) $\begin{equation*} b_k \leq a_{n_k} \leq c_k = b_k + \frac{c-b}{2^k} \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Da $[b_{k+1},c_{k+1}] \subset [b_k,c_k]$ seguirà che la successione $b_k$ è crescente e $c_k$ è decrescente. Da tale monotonia e da $c_k= b_k + \frac{c-b}{2^k}$ si avrà che $c_k$ e $b_k$ convergono allo stesso limite $\ell$ e, per il teorema del confronto, anche $a_{n_k}$ vi convergerà.

Passo base: $b_1, c_1, a_{n_1}$ . Dividiamo l’intervallo $[b, c]$ a metà. Scegliamo la metà, chiamata $[b_1, c_1]$ , che contiene infiniti elementi di $a_n$ . Selezioniamo poi un termine della successione $a_n$ all’interno di questo intervallo e lo chiamiamo $a_{n_1}$ . Di conseguenza, abbiamo
(3) $\begin{equation*} b_1 \leq a_{n_1} \leq c_1 = b_1 + \frac{c - b}{2}. \end{equation*}$
Passo induttivo: $b_{k+1}, c_{k+1}, a_{n_{k+1}}$ . Supponiamo di aver già determinato l’intervallo $[b_k, c_k]$ che contiene infiniti termini di $a_n$ e di aver scelto $a_{n_k}$ in modo tale che soddisfi (2). Il nostro obiettivo è ora selezionare $b_{k+1}, c_{k+1}, a_{n_{k+1}}$ . Dividiamo $[b_k, c_k]$ in due parti uguali e definiamo $[b_{k+1}, c_{k+1}]$ come una delle metà che contiene infiniti termini di $a_n$ (almeno una delle metà deve necessariamente soddisfare questa condizione). Quindi,
(4) $\begin{equation*} b_k \leq b_{k+1} < c_{k+1} = b_{k+1} + \frac{c - b}{2^{k+1}} \leq c_k. \end{equation*}$
Scegliamo $a_{n_{k+1}}$ all’interno di $[b_{k+1}, c_{k+1}]$ in modo che $n_{k+1} > n_k$ , garantendo così che la sottosuccessione sia crescente negli indici. Di conseguenza, abbiamo che
(5) $\begin{equation*} b_{k+1} \leq a_{n_{k+1}} \leq c_{k+1} = b_{k+1} + \frac{c - b}{2^{k+1}}. \end{equation*}$

Per induzione risultano dunque definite le successioni $b_k,c_k,a_{n_k}$ : esse soddisfano (2). Poiché $b_k$ è crescente e limitata (dall’alto dai termini della successione $c_k$ ), essa risulta convergente a un valore $\ell$ . Inoltre, dall’ultima uguaglianza in (2), dal fatto che $2^k \to +\infty$ e dalle regole di algebra dei limiti, segue che anche $c_k \to \ell$ . Quindi, di nuovo per (2) e per il teorema del confronto, si ha

(6) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty}a_{n_k}= \ell. \end{equation*}$

Riguardo l’ultima affermazione, se $a_n$ è a valori in $A$ , con $A \subseteq \mathbb{R}$ chiuso, allora anche $a_{n_k}$ è a valori in $A$ . Per la caratterizzazione per successioni degli insiemi chiusi, il suo limite $\ell \in A$ .

Per completezza, presentiamo un’altra formulazione equivalente del del Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Teorema 2 (Bolzano-Weierstrass, forma topologica). Sia $A\subset \mathbb{R}$ un insieme infinito e limitato. Allora esiste almeno un punto di accumulazione per $A$ .

Dimostrazione.

Poiché $A$ è infinito, possiamo costruire una successione con valori in $A$ per induzione come segue. Fissiamo $a_1 \in A$ , e supponendo di aver definito $a_n$ , definiamo $a_{n+1}$ scegliendo un elemento in $A \setminus \{a_1,\dots,a_n\}$ (tale insieme non è vuoto in quanto $A$ è infinito). La successione $a_n$ è limitata e, in accordo al Teorema 1, possiede una sottosuccessione $a_{n_k}$ convergente a un valore $\ell \in \mathbb{R}$ .

Affermiamo che $\ell$ è un punto di accumulazione di $A$ . Infatti, sia $\varepsilon>0$ . Poiché $a_{n_k} \to \ell$ , esiste $K \in \mathbb{N}$ tale che

(7) $\begin{equation*} a_{n_k} \in I_\varepsilon(\ell)=(\ell - \varepsilon, \ell+ \varepsilon) \qquad \forall k \geq K. \end{equation*}$

Dato che per costruzione la sottosuccessione $a_{n_k}$ è costituita da punti di $A$ tutti distinti, (7) implica che nell’intorno $I_\varepsilon(\ell)$ esiste almeno un punto di $A$ diverso da $\ell$ . Per definizione, $\ell$ è quindi un punto di accumulazione per $A$ .

Osservazione 3. Per dimostrare il teorema 2 abbiamo quindi usato il teorema 1. Viceversa, il teorema 2 permette di dimostrare facilmente il teorema 1. Infatti, sia $a_n$ una successione limitata. Se $a_n$ assume un numero finito di valori, esiste $\ell \in \mathbb{R}$ tale che $a_n=\ell$ per infiniti indici $n$ . Quindi $a_n=\ell$ frequentemente e quindi esiste un’estratta $a_{n_k}$ costantemente pari a $\ell$ , che risulta ovviamente convergente. Se invece $a_n$ assume infiniti valori, l’insieme $A=\{a_n \colon n \in \mathbb{N}\}$ risulta infinito e limitato. Dunque, per il teorema 2, esso possiede un punto di accumulazione $\ell$ . Allora ogni intorno di $\ell$ contiene infiniti punti della successione $a_n$ e quindi facilmente si riesce a costruire una sottosuccessione $a_{n_k}$ convergente a $\ell$ .

Il teorema di Bolzano-Weierstrass permette di stabilire la seguente proprietà degli insiemi chiusi.

Corollario 4. Se $A \subseteq \mathbb{R}$ è un insieme chiuso e limitato, allora esso possiede massimo $M$ e minimo $m$ , ovvero esistono $M,m \in A$ tali che

(8) $\begin{equation*} m \leq x \leq M \qquad \forall x \in A. \end{equation*}$

Osservazione 5. La parte importante del teorema è che $m,M \in A$ . Infatti, l’esistenza di siffatti numeri reali è data dalla definizione di limitatezza di $A$ .

Dimostrazione.

Poiché $A$ è limitato, esistono finiti $m = \inf A$ e $M=\sup A$ . Mostriamo quindi che $m,M \in A$ . Per definizione di estremo inferiore

(9) $\begin{equation*} \exists a_n \in A \cap \left ( m, m+\frac{1}{n} \right ) \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

La successione $a_n$ così definita è a valori in $A$ e converge a $m$ per il teorema del confronto. Per la caratterizzazione degli insiemi chiusi per successioni, il suo limite $m$ appartiene ad $A$ perché $A$ è chiuso. Analogamente si prova che $M \in A$ .

$\[\]$

Per completezza riportiamo la caratterizzazione dei chiusi per successioni utile per la dimostrazione del teorema. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ ; le seguenti affermazioni sono equivalenti:
$A$ è chiuso;
per ogni successione $a_n$ a valori in $A$ convergente a un numero reale $\ell$ , si ha $\ell \in A$ .
↩

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