Successioni di Cauchy

Le successioni di Cauchy sono di fondamentale importanza nell’Analisi Matematica. Tale proprietà esprime il fatto che gli elementi di una successione siano “definitivamente vicini” tra loro; essi sono cioè arbitrariamente vicini, se si sceglie l’indice sufficientemente grande.

Questa caratteristica è intimamente legata alla nozione di limite, che esprime invece il fatto che i termini siano arbitrariamente vicini a un numero , scegliendo sufficientemente grande.

In questo articolo studieremo la proprietà di Cauchy studiando le seguenti domande:

• Come si formalizza l’idea di successione di Cauchy?
• Una successione di Cauchy è limitata?
• Quali legami ha la proprietà di Cauchy con la convergenza?

Illustreremo il fatto che le successioni di Cauchy di numeri reali sono limitate e, più precisamente, che sono convergenti, mostrando che in realtà la proprietà di Cauchy è equivalente alla convergenza.

Se desideri scoprire di più, leggi questo breve e chiaro articolo!

Oltre agli esercizi misti sulle successioni, consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria delle successioni:

• Criterio del rapporto per le successioni;
• Definizione e proprietà del numero di Nepero;
• Limite di una successione monotona;
• Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni;
• Il teorema ponte.

Autori e revisori

Definizione 1. Una successione si dice di Cauchy se verifica la seguente proprietà:

Proposizione 2 (una successione di Cauchy è limitata). Sia una successione di Cauchy, allora è limitata ovvero esiste tale che

Dimostrazione 1.

Sia una successione di Cauchy, vogliamo dimostrare che tale che si ha . Sappiamo per ipotesi che esiste tale che , per . Dunque, prendendo si ha

dunque è limitata per .

Inoltre per si vede che la successione prende un numero finito di elementi e un insieme finito di elementi ammette sempre massimo e minimo; pertanto la successione è limitata.