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Criterio del rapporto successioni – Esercizi

Forme indeterminate successioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi riguardanti il Criterio del rapporto per le successioni.
Il criterio del rapporto è uno strumento che consente in molti casi di stabilire la convergenza o la divergenza di una successione e termini positivi a_n. Esso si basa sulla seguente intuizione: se il rapporto \frac{a_{n+1}}{a_n} tra il termine successivo e il precedente è molto vicino a una costante \ell, si ha che a_{n+1} \approx \ell a_n, ma anche che a_{n+2} \approx \ell^2 a_n… Iterando questa approssimazione, si vede che la successione è paragonabile a una progressione geometrica di ragione \ell che si sa essere divergente se \ell>1 e infinitesima se \ell \in (0,1). Risulta naturale quindi chiedersi se tale parallelo si mantiene se l’uguaglianza è vera solo al limite, ossia se \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell.
La risposta è affermativa: il criterio del rapporto fornisce proprio tale strumento, che ci accingiamo ad applicare in questo articolo in 5 problemi di carattere misto, corredati di soluzione completa.

Oltre alla risorsa completa sulla Teoria sulle Successioni e all’articolo sul Criterio del rapporto per le successioni, consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi su questo argomento:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questa dispensa presenta 5 esercizi svolti sul criterio del rapporto.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione applicando il criterio del rapporto

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n!)^2}{n^n}.\]

Svolgimento.

Si osserva che b_n=\dfrac{(n!)^2}{n^n} è una successione a termini positivi quindi possiamo applicare il criterio del rapporto:

\[\begin{aligned} &\lim_{n\to + \infty} \dfrac{b_{n +1}}{b_n}= \lim_{n\to+\infty} \dfrac{((n+1)!)^2}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{(n!)^2}\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n+1)^2\cancel{(n!)^2}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{\cancel{(n!)^2}}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}}\cdot n^n\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2 \left(1+ \dfrac{1}{n} \right)^2}{\cancel{n^n} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n n (1+o(1))}\cdot \cancel{n^n}=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^{\cancel{2}}(1+o(1))}{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n \cancel{n}}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n(1+o(1))}{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{+\infty}{e}=+\infty. \end{aligned}\]

Si conclude per il criterio del rapporto che:

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(n!)^2}{n^n}=+\infty.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione applicando il criterio del rapporto

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+1)!}{n^n}.\]

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