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Limiti di successioni – Esercizi misti 1

Esercizi misti Successioni

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Benvenuti nel primo volume della nostra raccolta di esercizi sulle successioni. In questo articolo riportiamo 22 esercizi sui limiti di successioni, risolti mediante l’uso di tecniche miste. Gli esercizi sono completamente svolti, per offrire una comprensione completa delle strategie utilizzate. Questo articolo è quindi particolarmente indicato per chi desidera approfondire la sua conoscenza dei limiti di successioni.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento nella cartella di Teoria sulle successioni.

Buona lettura!

 

Sommario

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Questa dispensa presenta una serie di esercizi sul calcolo dei limiti delle successioni, utilizzando diversi metodi di risoluzione. Alcuni limiti sono calcolati tramite limiti notevoli, come quello che definisce il numero di Nepero, mentre in altri casi si fa ricorso ai simboli di Landau, che permettono di semplificare le espressioni eliminando i termini trascurabili. Viene anche utilizzata la tecnica del confronto all’infinito e il teorema dei carabinieri per determinare il limite di certe successioni. Viene proposto anche un esercizio in cui la successione non ammette limite, esplicitando due sottosuccessione che ammettono limiti diversi.

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Autori e revisori dell’articolo

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Autori: Donato Ciampa, Valerio Brunetti.

Revisori: Giulio Binosi, Matteo Talluri.

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Introduzione

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In questa dispensa sono presentati esercizi dedicati al calcolo dei limiti di varie successioni. Gli esercizi coprono una vasta gamma di casi e situazioni, permettendo di esplorare vari aspetti del tema. Inoltre, è fornito un richiamo alla teoria fondamentale necessaria per affrontare questi problemi. Per una comprensione approfondita e completa della teoria, si consiglia di consultare le pagine specifiche Criterio del rapporto, Numero di Nepero, Successioni monotone, Successioni di Cauchy dedicata agli argomenti teorici.

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Richiami di teoria

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Definizione 1.1  (successione).Una successione \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori reali è una funzione

(1) \begin{align*} a \colon \mathbb{N} & \to \mathbb{R}\\ n & \mapsto a_n=a(n) \end{align*}

Solitamente, l’immagine a(n) viene indicata col simbolo a_n ed è detta termine n-esimo della successione. Quando non vi sia possibilità di equivoco, una successione si denoterà semplicemente indicando il suo termine generale a_n.

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Definizione 1.2  (successioni monotone). Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione a valori in \mathbb{R}. Diremo che

  • \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è crescente se a_{n+1}\geq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.
  • \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è strettamente crescente se a_{n+1}> a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.
  • \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è decrescente se a_{n+1}\leq a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.
  • \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è strettamente decrescente se a_{n+1}< a_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.

    • La successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} è detta monotona se rientra in uno dei casi precedenti.

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    Definizione 1.3  (limiti di successioni). Sia a_n una successione reale e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}, dove \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. Si dice che a_n ha limite \ell oppure tende a \ell se, per ogni intorno I di \ell, esiste N \in \mathbb{N} tale che

    (2) \begin{equation*} a_n \in I \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}

    In tal caso si scrive

    (3) \begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n=\ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} \ell \qquad \text{oppure} \qquad a_n \to \ell. \end{equation*}

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    1. Se \ell \in \mathbb{R}, a_n si dice convergente a \ell. Se \ell=0, a_n si dice anche infinitesima .
    2. Se \ell \in \{-\infty,+\infty\}, a_n si dice divergente a \ell.

    Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari , mentre le successioni che non ammettono limite si dicono non regolari.

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    Teorema 1.4.  (unicità del limite). Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione tale che

    \begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}; \end{equation*}

    allora tale limite è unico.

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    Teorema 1.5  (prodotto di successioni limitate per infinitesime). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni tali che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0 \end{equation*}

    e b_n limitata. Allora

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n\cdot b_n=0. \end{equation*}

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    Teorema 1.6  (del confronto). Siano a_n, b_n, c_n successioni, si supponga che esista N_1\in\mathbb{N} tale che

    (4) \begin{equation*} a_n \leq b_n \leq c_n, \;\;\; \forall n \geq N_1 \end{equation*}

    e che valga

    \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \ell \in \mathbb{R}.\]

    Allora

    \[\lim_{n \to \infty} b_n = \ell .\]

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    Teorema 1.7  (del confronto: \ell=\pm \infty). Siano \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}},\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} due successioni e supponiamo che esista N_1 \in \mathbb{N} tale che

    (5) \begin{equation*} a_n \leq b_n \qquad \forall n \geq N_1. \end{equation*}

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    1. Se a_n \to +\infty, allora b_n \to + \infty.
    2. Se b_n \to - \infty, allora a_n \to - \infty.

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    Proposizione 1.8.  Si ha

    (6) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{x}{n}\right )^n=e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

    Inoltre, se x>0, la successione \left (1+\frac{x}{n}\right )^n è crescente.

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    Teorema 1.9  (criterio del rapporto). Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione a termini positivi tale che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell. \end{equation*}

    Allora

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    1. se \ell>1 si ha che

      \[\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,\]

    2. se \ell<1 si ha che

      \[\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.\]

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    Teorema 1.10  (criterio della radice). Sia \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} una successione a termini positivi tale che

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\ell. \end{equation*}

    Allora

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    1. se \ell>1 si ha che

      \[\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty,\]

    2. se \ell<1 si ha che

      \[\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.\]

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    Definizione 1.11.  (successioni asintotiche). Due successioni \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} di numeri reali con b_n\neq 0 definitivamente, si dicono asintotiche se

    \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. \end{equation*}

    In tal caso scriverempo che a_n\sim b_n per n\rightarrow +\infty.

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    Teorema 1.12  (proprietà delle successioni asintotiche). Siano \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} e \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} due successioni; allora valgono le seguenti proprietà:

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    1. se a_n\sim b_n e \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\ell\in\mathbb{R}, allora \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=\ell\in\mathbb{R}.
    2. Se a_n\sim b_n e b_n\sim c_n, allora a_n\sim c_n.
    3. (Principio di sostituzione) Siano a_n, b_n, c_n\neq 0 definitivamente; se a_n\sim b_n, allora si ha

      \begin{equation*} a_n\cdot c_n\sim b_n\cdot c_n,\qquad\frac{a_n}{c_n}\sim \frac{b_n}{c_n},\qquad\frac{c_n}{a_n}\sim\frac{c_n}{b_n}. \end{equation*}

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    Testi degli esercizi

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    Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il limite della seguente successione:

    (7) \begin{equation*} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}. \end{equation*}

    \[\,\]

    Svolgimento.

    \[ \begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{2n} &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{\frac{3}{3} \cdot 2n} \\ &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{3n}\right]^{2/3} \\ &= e^{2/3} = \sqrt[3]{e^2}. \end{aligned} \]

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    Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il limite della seguente successione:

    (8) \begin{equation*} \frac{2^n-3^n}{1+3^n}. \end{equation*}

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    Svolgimento.

    \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2^n-3^n}{1+3^n}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle 3^n\left(\frac{2^n}{3^n}-1\right)}{\displaystyle 3^n\left(\frac{1}{3^n}+1\right)}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n-1}{\displaystyle \frac{1}{3^n}+1}=-1.\]

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    Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il limite della seguente successione:

    (9) \begin{equation*} \frac{\sqrt{n}-n+n^2}{2n^2-n^{3/2}+1}. \end{equation*}

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