Limite uniforme di funzioni continue

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Nello studio delle successioni di funzioni è essenziale chiedersi quali proprietà delle funzioni costituenti la successione siano conservate al limite. In questo conciso articolo affrontiamo la seguente domanda: il limite uniforme di una successione di funzioni continue è continuo?

La risposta è fornita dal teorema qui presentato con cura e chiarezza, offrendo uno sguardo su questo affascinante campo della Matematica.

Consigliamo la lettura del seguente materiale, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stato estrapolato il risultato presentato in questo articolo:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (limite uniforme di funzioni continue). Sia $E \subset \mathbb{R}$ e sia $f_n \colon E \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue convergente uniformemente alla funzione $f \colon E \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ è una funzione continua.

$\,$

Dimostrazione. Sia $x \in E$ un punto di accumulazione di $E$ e consideriamo una successione $x_j \in E$ che converga a $x \in E$ . Per provare il teorema occorre mostrare che

(1) $\begin{equation*} \lim_{j \to \infty} f(x_j) = f(x). \end{equation*}$

Utilizzando la disuguaglianza triangolare, per ogni $n \in \mathbb{N}$ abbiamo

(2) $\begin{equation*} |f(x_j) - f(x_0)| \leq |f(x_j) - f_n(x_j)| + |f_n(x_j) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|. \end{equation*}$

Fissiamo ora $\varepsilon>0$ ; l’idea della dimostrazione è di stimare dall’alto i tre termini nel membro di destra della (2) per ottenere che $|f(x_j) - f(x)| < \varepsilon$ per $j$ sufficientemente grande.