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Funzioni continue – Esercizi

Continuità delle funzioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulle funzioni continue! In questo articolo presentiamo 43 problemi su questo importante argomento, di varia natura e suddivisi per tema. Di ogni esercizio forniamo una o più soluzioni complete, così che il lettore possa confrontare le proprie risoluzioni con quelle da noi proposte e affinare le sue capacità di problem solving. La raccolta è quindi rivolta sia a studenti dei corsi di Analisi Matematica 1, dove questo importante argomento viene tradizionalmente affrontato, sia ad appassionati e cultori della materia, che desiderano cimentarsi con problemi vari, originali e stimolanti.

Consigliamo la lettura del seguente materiale teorico di riferimento:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:

Buona lettura!

 

Funzioni continue: autori e revisori

Leggi...

Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Sara Sottile, Silvia Lombardi.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

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Funzioni continue: richiami teorici

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Leggi...

Inseriamo in questa sezione i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le dimostrazioni dei seguenti risultati e per ulteriori approfondimenti si rimanda alla dispensa sulle funzioni continue [1].

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Proposizione 1.1  (continuità dei polinomi e del quoziente di polinomi [1 proposizione 2.8]).

  • Siano n \in \mathbb{N} e a_i \in \mathbb{R}\; \forall i =0,\dots, n. Allora la funzione polinomiale P\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

    \begin{equation*} P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_0 \qquad \forall x\in \mathbb{R} \end{equation*}

    è continua in \mathbb{R}.

  • Siano inoltre m \in \mathbb{N}, b_i \in \mathbb{R}\; \forall i =0,\dots, m e sia Q\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} la funzione polinomiale definita da

    \begin{equation*} b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}+\dots + b_0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}

    Sia A\coloneqq \{ x \in \mathbb{R} \colon Q(x) \neq 0 \}. Allora la funzione g\colon A\to \mathbb{R} tale che g(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} è continua in A.

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Proposizione 1.2  (continuità del modulo). La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(1) \begin{equation*} f(x) =|x| \coloneqq \begin{cases} x & \text{se $x \geq 0$}\\ -x & \text{se $x < 0$} \end{cases} \end{equation*}

è continua.

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Dimostrazione. f è continua in (0,+\infty) e (-\infty,0) per la proposizione 1 perché in tali intervalli è un polinomio. Per x=0, sempre per la continuità dei polinomi stabilita dalla proposizione 1 , vale

(2) \begin{equation*} f(0)= 0 = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \end{equation*}

e analogamente per il limite a sinistra.

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Proposizione 1.3  (continuità della funzione seno [1proposizione 2.9]). La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]

è continua in \mathbb{R}.

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Proposizione 1.4  (continuità della funzione coseno [1 proposizione 2.10]). La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]

è continua in \mathbb{R}.

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Proposizione 1.5  ([continuità della funzione dell’esponenziale [1 proposizione 2.12]). Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]

è continua in \mathbb{R}.

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Proposizione 1.6  (continuità di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue [1 proposizione 2.13]). Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R}. Consideriamo le funzioni f+g, fg \colon A \to \mathbb{R} definite da

\[(f+g)(x)\coloneqq f(x)+g(x) \quad \text{e} \quad (fg)(x) \coloneqq f(x)g(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R},\]

inoltre detto B\coloneqq \{x\in A \colon g(x) \neq 0 \} consideriamo \dfrac{f}{g}\colon B \to \mathbb{R} tale che \dfrac{f}{g}(x) \coloneqq \dfrac{f(x)}{g(x)} \; \forall x \in B.Se f e g sono funzioni continue, allora f+g, fg e \dfrac{f}{g} sono funzioni continue nei loro domini.

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Proposizione 1.7 (continuità della funzione tangente [ 1 corollario 2.14]). La funzione tangente f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k \pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \tan x \coloneqq \dfrac{\sin x}{\cos x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k \pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\}\]

è continua.

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Proposizione 1.8  (continuità della funzione composta [1 proposizione 2.15]). Si supponga che f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} siano tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.

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Il seguente risultato è diretta conseguenza del “teorema ponte”, il cui approfondimento è presente in [1 ].

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Teorema 1.9  (caratterizzazione della continuità per successioni [1 teorema 3.3]). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (3) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

Definizione 1.10  (funzione prolungabile con continuità [1 definzione 4.3]). Dati A \subset \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R}\setminus A di accumulazione per A, una funzione continua f \colon A \to \mathbb{R} si dice estendibile o prolungabile con continuità in x_0 se esiste finito \displaystyle \ell=\lim_{x \to x_0}f(x), ossia se la funzione \tilde{f} \colon A \cup \{x_0\} \to \mathbb{R}, ottenuta ponendo

(4) \begin{equation*} \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in A\\ \ell & \text{se } x=x_0, \end{cases} \end{equation*}

è continua. Tale \tilde{f} è detta estensione continua di f in x_0. In caso contrario, f si dice non estendibile con continuità in x_0.

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Teorema 1.11  (teorema degli zeri [1 teorema 5.3]). Sia f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua.Se f(a)\cdot f(b) < 0, allora esiste x_0\in \left(a,b\right) tale che f(x_0)=0.

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Corollario 1.12  ([1 corollario 5.6]). Siano f,g \colon [a,b] \to \mathbb{R} due funzioni continue tali che

(5) \begin{equation*} f(a)>g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) < g(b), \end{equation*}

oppure

(6) \begin{equation*} f(a)<g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) > g(b). \end{equation*}

Allora esiste x_0 \in (a,b) tale che

(7) \begin{equation*} f(x_0)=g(x_0). \end{equation*}

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Teorema 1.13  (dei valori intermedi [1 teorema 5.9]). Sia I\subset \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione continua. Siano

\[m = \inf_I f, \qquad M = \sup_I f\]

l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei valori assunti da f in I, rispettivamente. Allora per ogni c \in (m, M) esiste x_0 \in I tale che f(x_0) = c. In altri termini la funzione assume tutti i valori compresi tra m e M.

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Teorema 1.14  (continuità della funzione inversa [1 teorema 5.14]). Siano I,J \subseteq \mathbb{R} intervalli e sia f\colon I \to J una funzione continua e invertibile; allora f^{-1} è continua.

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Proposizione 1.15  (invertibilità delle potenze n-esime [1 teorema 5.19]). Sia n \in \mathbb{N}.

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  • Se n è pari, allora per ogni a \in [0,+\infty) esiste un unico b \in [0,+\infty) tale che b^n=a.
  • Se n è dispari, allora per ogni a \in \mathbb{R} esiste un unico b \in \mathbb{R} tale che b^n=a.

In particolare, le funzioni potenza n-esima definite da

(8) \begin{align*} f_n \colon x \in [0,+\infty) \mapsto & \,\,x^n \in [0,+\infty) \qquad \text{se $n$ è pari} \\ f_n \colon x \in \mathbb{R} \mapsto& \,\, x^n \in \mathbb{R} \qquad \qquad \text{se $n$ è dispari} \end{align*}

sono invertibili e le loro inverse , chiamate funzioni radici n-esime , sono continue.

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Definizione 1.16  (radice n-esima [1 definzione 5.20]). Sia n \in \mathbb{N} e sia a \in \mathbb{R} se n è dispari, altrimenti sia a \in [0,+\infty) se n è pari. L’unico numero b \in \mathbb{R} fornito dalla proposizione 1.15 tale che b^n=a viene detto radice n-esima di a e viene denotato con il simbolo \sqrt[n]{a}.La funzione continua f_n^{-1} inversa della funzione f_n definita in (8) è detta funzione radice n-esima.

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Proposizione 1.17  (invertibilità della funzione esponenziale). Sia a \in (0,1) \cup (1,+\infty). Allora per ogni y_0 \in (0,+\infty) esiste un unico x_0 \in \mathbb{R} tale che a^{x_0}=y_0. In particolare, la funzione esponenziale f_a \colon \mathbb{R} \to (0,+\infty) definita da

(9) \begin{equation*} f_a(x)=a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}

è invertibile e la sua inversa f_a^{-1} , chiamata funzione logaritmo in base a, è continua.

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Definizione 1.18  ([logaritmi [1 definzione 5.22]). Sia a \in (0,1) \cup (1,+\infty) e sia y_0 \in (0,+\infty). L’unico numero x_0 \in \mathbb{R} fornito dalla proposizione 1.17 tale che a^{x_0}=y_0 viene detto logaritmo in base a di y_0 e viene denotato con il simbolo \log_a y_0.La funzione continua f_a^{-1} \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(10) \begin{equation*} f_a^{-1}(y) = \log_a(x) \qquad \forall x \in (0,+\infty), \end{equation*}

inversa della funzione esponenziale f_a definita in (9) è detta funzione logaritmica e viene indicata con lo stesso simbolo \log_a. Se a=e, con e il numero di Nepero, allora \log_e y viene detto logaritmo naturale e più comunemente denotato con \log y.

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Proposizione 1.19  ( [1 proposizione 5.23]). Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

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Definizione 1.20  (funzioni trigonometriche inverse [1 definzione 5.26]).

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  • Si definisce funzione arcoseno la funzione definita da

    \[\arcsin x \colon x \in [-1,1] \mapsto \sin^{-1} x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].\]

  • Si definisce funzione arcocoseno la funzione definita da

    \[\arccos x \colon x \in [-1,1] \mapsto \cos^{-1} x \in \left[0, \pi \right].\]

  • Si definisce funzione arcotangente la funzione definita da

    \[\arctan x \colon x \in \mathbb{R} \mapsto \tan^{-1} x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].\]

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Proposizione 1.21  (continuità delle funzioni trigonometriche inverse, [1 proposizione 5.28]). Le funzioni \arcsin, \arccos e \arctan definite in 1.20 sono funzioni continue nei loro domini.

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Teorema 1.22  (Weierstrass, [1 teorema 5.30]). Siano a, b \in \mathbb{R}, a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in A tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

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Teorema 1.23  (Heine-Cantor [1 ,terema 6.10]). Siano a,b\in \mathbb{R} e sia f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R} una funzione continua. Allora f è uniformemente continua.

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Proposizione 1.24  ([1 proposizione 6.22]). Sia A\subseteq\mathbb{R}. Se f\colon A\rightarrow \mathbb{R} è lipschitziana allora f è uniformemente continua.

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Corollario 1.25  ([1corollario 6.23]). Sia A\subseteq\mathbb{R}. Se f\colon A\rightarrow \mathbb{R} è una funzione lipschitziana allora f è continua.

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Continuità e discontinuità di funzioni

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Esercizio 2.1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità di f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} definita da f(x) = \dfrac{1}{x} e discutere la natura di eventuali punti di discontinuità.

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Svolgimento.

La funzione in esame è una funzione razionale, dunque per la proposizione 1 essa è continua. Ci si chiede se f possa essere prolungata con continuità in x=0 (definizione 1 ); tuttavia, da [1 esempi 3.5 e 4.4], sappiamo che

(11) \begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \quad \text{non esiste,} \end{equation*}

dunque f non è prolungabile in x=0 con continuità.

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Esercizio 2.2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità di f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \begin{cases} x-1, \qquad & \mbox{ per } x\leq 0\\[8pt] x^2, \qquad & \mbox{ per } 0 < x \leq 1\\[8pt] \sqrt{x}, \qquad & \mbox{ per } x > 1 \end{cases}\]

e discutere la natura di eventuali punti di discontinuità.

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Svolgimento.

La funzione f è continua in (-\infty,0) e in (0,1) per proposizione 1 ed è continua in (1,+\infty) per la proposizione 9. Resta da chiarire se f è continua nei punti x=0 e x =1.

Si osserva che

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) =-1 \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0,\]

dunque f presenta una discontinuità di salto in x=0 di ampiezza 1. Inoltre,

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 ,\]

quindi \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=1, da cui si conclude che f è continua in x=1. In figura 1 è rappresentata la funzione.

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funzioni continue

Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

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Esercizio 2.3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità di f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \begin{cases} x-1, \qquad & \mbox{ per } x \leq 1\\[8pt] x^2-1, \qquad & \mbox{ per } x >1 \\[8pt] \end{cases}\]

e discutere la natura di eventuali punti di discontinuità.

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