Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Teorema fondamentale del calcolo integrale: teoria

Integrale di Riemann

Home » Teorema fondamentale del calcolo integrale: teoria

I concetti di derivata e di integrale sono profondamente correlati, nonostante il loro legame non sia evidente a un primo sguardo. Infatti, mentre la derivata corrisponde all’idea intuitiva di “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione, il concetto di integrale corrisponde a quello di “area sottesa al grafico” di una funzione. Si può però vedere che le operazioni di derivazione e di integrazione sono l’una inversa dell’altra, in un senso che viene precisato dal teorema fondamentale del calcolo integrale: sotto opportune ipotesi, la derivata in x della funzione integrale \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t è pari a f(x) e, viceversa, l’integrale \int_0^x f'(t) \,\mathrm{d}t della derivata è pari a f(x).

Questo articolo è dedicato a uno studio profondo ma chiaro dei precedenti risultati, trattando i seguenti argomenti:

  • Definizione di primitiva di una funzione, sue proprietà e condizioni necessarie per l’esistenza di primitive;
  • Prima parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale di una funzione continua è una sua primitiva;
  • Seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale della derivata f' è pari a f a meno di una costante.

Ogni teorema viene motivato da domande introduttive e illustrato da esempi e controesempi di difficile reperibilità che chiariscono il ruolo delle ipotesi. Nel testo vengono inoltre proposti esercizi le cui soluzioni sono raccolte alla fine del volume.
Il testo, scritto con precisione meticolosa e chiarezza didattica, è quindi un’utile risorsa formativa e un’avventura appassionante nel cuore del calcolo integrale. Buona lettura!

Consigliamo la lettura del seguente materiale teorico su argomenti correlati:

Segnaliamo anche le seguenti raccolte di esercizi:

 

Teorema fondamentale del calcolo integrale: introduzione

Leggi...

Lo scopo di questa dispensa è analizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale, che lega l’esistenza di primitive di una certa funzione f a proprietà della sua funzione integrale. Questi risultati si sentono spesso riassumere nella frase “l’integrazione è l’operazione inversa della derivazione”. Ci accingiamo a studiare sotto quali ipotesi vale precisamente questa sorta di invertibilità e quali assunzioni, invece, non bastano per ottenerla.

I risultati principali di questo lavoro sono il teorema 4.1 e il teorema 5.2, costituenti la prima e la seconda parte del famoso teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[\quad\]

  1. Il teorema 4.1 afferma che la derivata della funzione integrale di una funzione f continua è pari a f;

    2.  

  2. Il teorema 5.2 afferma che l’integrale della derivata di una funzione derivabile F è pari a F (a meno di una costante).

Il lavoro è così organizzato:

\[\quad\]

  • Nella sezione 2 vengono richiamate le definizioni fondamentali utili nel seguito.

    •  

  • Nella sezione 3 viene presentata una prima proprietà delle primitive di una funzione fissata: esse differiscono per una costante. Nella sezione 3.1 viene presentato il teorema di Darboux il quale garantisce che la derivata di una funzione F in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra F'(a) e F'(b); ciò implica che, affinché una funzione f ammetta una primitiva, deve soddisfare tale proprietà, detta dei valori intermedi.

    •  

  • Nella sezione 4 viene studiata la questione dell’uguaglianza tra una funzione f e la derivata della sua funzione integrale. Viene presentato il teorema 4.1, che afferma che, se f è una funzione continua, allora la sua funzione integrale è derivabile e la sua derivata è proprio pari a f; si tratta, quindi, di un teorema di esistenza di primitive: una funzione continua ammette come primitiva la sua funzione integrale.

    Nella sezione 4.1 analizziamo alcuni esempi che mostrano come non sia in generale possibile, rinunciando all’ipotesi di continuità, ottenere f come derivata della sua funzione integrale.

    •  

  • Nella sezione 5 presentiamo il secondo risultato principale della dispensa: il teorema 5.2; esso afferma che, se una funzione F è derivabile e la sua derivata F' è integrabile, allora la funzione integrale di F' differisce da F per una costante: più precisamente, vale la nota formula

    (1) \begin{equation*} \int_a^x F'(t) \, \mathrm{d} t = F(x) - F(a). \end{equation*}

    Nella sezione 5.1 utilizziamo questo risultato per rispondere a una questione posta nella sezione 4.1, costruendo un ulteriore controesempio all’esistenza di primitive di una certa funzione.


 
 

Teorema fondamentale del calcolo integrale: notazioni

Leggi...

\mathbb{N} insieme dei numeri naturali positivi;
\mathbb{R} insieme dei numeri reali;
[a,b] =\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \}: intervallo chiuso di estremi a, b
(a,b) =\{x \in \mathbb{R} <. a < x < b \}: intervallo aperto di estremi a, b;
F'(x_0), \dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}(x_0) derivata della funzione F nel punto x_0;
F'^+(x_0) derivata destra della funzione F nel punto x_0;
F'^-(x_0) derivata sinistra della funzione F nel punto x_0;
s(f,P), S(f,P) somme di Riemann inferiore e superiore della funzione f rispetto alla partizione P;
s(f), S(f) integrale inferiore e superiore di f;
\int_a^b f(t) \, \mathrm{d}t integrale di Riemann della funzione f sull’intervallo [a,b];
\sup_A f estremo superiore della funzione f sull’insieme A;
\inf_A f estremo inferiore della funzione f sull’insieme A.


 
 

Definizioni

Leggi...

In questa sezione raccogliamo le definizioni e le nozioni utilizzate nel seguito. Nonostante molte di esse saranno sicuramente note al lettore, preferiamo richiamarle per completezza e per evitare ambiguità. Per approfondimenti, rimandiamo il lettore a [1] e [2]. Cominciamo con la definizione di funzione derivabile.

Definizione 2.1 (funzione derivabile). Sia F \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione e sia x_0 \in [a,b]; F si dice derivabile in x_0 se il limite

(2) \begin{equation*} F'(x_0) = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x-x_0}, \end{equation*}

esiste ed è finito; il valore di tale limite viene detto derivata di F in x_0. F si dice derivabile in [a,b] (o, più semplicemente, derivabile) se essa è derivabile per ogni x_0 \in [a,b].

\[\quad\]

Osservazione 2.1. Sottolineiamo come per noi una funzione è derivabile se la sua derivata esiste ed è finita ovunque; ciò differisce dalla definizione utilizzata da alcuni autori, i quali richiedono la sola esistenza della derivata.

Collegata a quella di derivata è la definizione di primitiva.

Definizione 2.2 (primitiva). Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione e sia F \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione derivabile; F si dice primitiva di f se vale

(3) \begin{equation*} F'(x) = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

Si dice che f ammette primitive se esiste almeno una sua primitiva.

\[\quad\]

In altre parole, f ammette primitive se essa è la derivata di qualche funzione F derivabile. L’uso del plurale è giustificato dal fatto che, se f ha una primitiva F, allora ne ha infinite: tutte le funzioni F+c con c \in \mathbb{R} sono primitive di f.

Non richiamiamo esplicitamente la definizione di funzione integrabile secondo Riemann, rimandando il lettore, ad esempio, alla dispensa relativa all’integrale di Riemann [2]. Usiamo questo concetto per definire quello di funzione integrale.

Definizione 2.3 (funzione integrale). Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione integrabile. Una funzione G \colon [a,b] \to \mathbb{R} si dice una funzione integrale di f se esiste x_0 \in [a,b] tale che

(4) \begin{equation*} G(x) = \int_{x_0}^x f(t) \, \mathrm{d} t \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

\[\quad\]


 
 

Primitive

Introduzione.

Cominciamo con l’analizzare le proprietà delle primitive. Presentiamo un risultato di rigidità sull’insieme delle primitive di una funzione: due primitive della stessa funzione differiscono per una costante.

Proposizione 3.1. Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione e siano F_1,F_2 \colon [a,b] \to \mathbb{R} due sue primitive. Allora esiste c \in \mathbb{R} tale che

(5) \begin{equation*} F_1(x) - F_2(x) = c \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Definiamo la funzione \Phi = F_1 - F_2. Ovviamente \Phi è derivabile e vale

(6) \begin{equation*} \Phi'(x) = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

Siano \alpha, \beta \in [a,b] con \alpha < \beta; per il teorema di Lagrange esiste \xi \in (\alpha, \beta) tale che

(7) \begin{equation*} \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = \Phi'(\xi) (\beta - \alpha). \end{equation*}

Inserendo (6) in (7), si ottiene

(8) \begin{equation*} \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = 0. \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \alpha, \beta \in [a,b] (8) mostra che la funzione \Phi è costante, cioè che esiste c \in \mathbb{R} tale che

(9) \begin{equation*} \Phi(x)=c \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

Ricordando che \Phi= F_1 - F_2, (9) implica la tesi.

Osservazione 3.1. Subito dopo la definizione 2.2 abbiamo notato che, se F è una primitiva di una funzione f, allora ogni funzione F+c con c \in \mathbb{R} è un’altra primitiva di f. La proposizione 3.1 mostra, d’altra parte, che tali funzioni esauriscono le primitive di una certa funzione f, cioè che tutte le primitive di f si ottengono aggiungendo una costante c a una di esse.

Possiamo quindi concludere che tutte e sole le primitive di una funzione f si ottengono aggiungendo una costante a una qualsiasi di esse.


Condizione necessaria per l'esistenza di primitive.

Prima di enunciare e dimostrare il teorema di Darboux, che è una condizione necessaria che la derivata di una funzione F deve soddisfare, proviamo un lemma che sarà utile nella sua dimostrazione; esso è inoltre di interesse indipendente, in quanto costituisce una generalizzazione del famoso teorema di Fermat sulla derivata nei punti di minimo e massimo di una funzione.

Lemma 3.2 (teorema di Fermat generalizzato). Sia \varphi \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione derivabile e sia \xi \in [a,b] un punto di minimo relativo per \varphi. Allora si ha

(10) \begin{equation*} \varphi'(\xi) \begin{cases} \geq 0 & \text{se } \xi = a \\ =0 & \text{se } \xi \in (a,b)\\ \leq 0 & \text{se } \xi = b, \end{cases} \end{equation*}

che si può riassumere nella disuguaglianza

(11) \begin{equation*} \varphi'(\xi)(x- \xi) \geq 0 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}

Se \xi è un punto di massimo, valgono conclusioni analoghe con le disuguaglianze invertite.

\[\quad\]

Dimostrazione. Osserviamo che, per dimostrare la (10), basta provare che

(12) \begin{equation*} \varphi'^+(\xi) \geq 0 \quad \text{se } \xi \in [a,b) \qquad \text{ e } \qquad \varphi'^-(\xi) \leq 0 \quad \text{se } \xi \in (a,b] \end{equation*}

(dove \varphi'^+(\xi) e \varphi'^-(\xi) denotano le derivate rispettivamente destra e sinistra di \varphi in \xi). Infatti (12) implica chiaramente i casi \xi =a e \xi=b di (10). Se \xi \in (a,b), l’esistenza della derivata \varphi'(\xi) = \varphi'^+(\xi)= \varphi'^-(\xi) e le disuguaglianze (12) implicano

(13) \begin{equation*} \varphi'(\xi)=0. \end{equation*}

Dimostriamo quindi le (12). Supponiamo a tal fine che \xi \in [a,b) sia un punto di minimo relativo per \varphi. Allora esiste \delta >0 tale che

(14) \begin{equation*} \frac{\varphi(\xi+h) - \varphi(\xi)}{h} \geq 0 \qquad \forall h \in (0,\delta). \end{equation*}

Passando al limite per h \to 0^+ (che esiste per la derivabilità di \varphi in \xi), si ha

(15) \begin{equation*} \varphi'^+(\xi) = \lim_{h \to 0^+}\frac{\varphi(\xi+h) - \varphi(\xi)}{h} \geq 0, \end{equation*}

che prova la prima delle disuguaglianze in (12). Con un ragionamento analogo si ottiene

(16) \begin{equation*} \varphi'^-(\xi) \leq 0 \qquad \text{se } \xi \in (a,b]. \end{equation*}

Ciò conclude la dimostrazione di (12).

La disuguaglianza (11) si ottiene facilmente da (10).

Possiamo ora dimostrare il teorema di Darboux; in sostanza, esso afferma che l’immagine di un intervallo tramite una derivata è ancora un intervallo.

Teorema 3.3 (Darboux). Sia F \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione derivabile e sia \eta un numero reale strettamente compreso tra F'(a) e F'(b). Allora esiste \xi \in (a,b) tale che F'(\xi)= \eta.

\[\quad\]

Osservazione 3.2. L’ipotesi che \eta sia strettamente compreso tra F'(a) e F'(b) è necessaria affinché \xi sia strettamente compreso tra a e b, come mostra l’esempio della funzione F\colon \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right] \to \mathbb{R} definita da F(x)=\sin(x).

Anche se F'(a)=F'(b)=\eta, in generale esiste alcun \xi \in (a,b) tale che F'(\xi)= \eta, come si vede dall’esempio della funzione F \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R} definita da F(x)= \sin x. Poiché F'(x)= \cos x, si ha

(17) \begin{equation*} F'(0)= F'(2\pi)=1, \qquad \text{ma} \qquad F'(x) < 1 \quad \forall x \in (0,2\pi). \end{equation*}

Tale fenomeno non può presentarsi per come abbiamo enunciato il teorema 3.3, in quanto il fatto che \eta sia strettamente compreso tra F'(a) e F'(b) implica in particolare che F'(a) \neq F'(b).

Dimostrazione del teorema 3.3. Senza ledere la generalità, possiamo supporre F'(a) < F'(b), in quanto l’altro caso è analogo (o si ottiene, ad esempio, applicando questa dimostrazione alla funzione -F). Supponiamo quindi \eta \in \big( F'(a), F'(b) \big). Allora la funzione \varphi \colon [a,b] \to \mathbb{R} definita da

(18) \begin{equation*} \varphi(x) = F(x) - \eta x \end{equation*}

è derivabile, quindi continua; per il teorema di Weierstrass, esiste \xi \in [a,b] che sia un punto di minimo assoluto per \varphi in [a, b]. Dimostriamo che \xi \neq a. Infatti, poiché a è l’estremo sinistro dell’intervallo, se esso fosse un punto di minimo assoluto di \varphi, per il lemma 3.2 dovrebbe valere

(19) \begin{equation*} 0 \leq \varphi'(a) = F'(a) - \eta, \end{equation*}

che è assurdo per l’ipotesi F'(a) < \eta. Per un ragionamento simile, \xi \neq b, e quindi \xi \in (a, b). Allora, di nuovo per il lemma 3.2, si ha

(20) \begin{equation*} 0 = \varphi'(\xi) = F'(\xi) - \eta. \end{equation*}

Il teorema di Darboux può essere riletto nell’ottica dell’esistenza delle primitive di una certa funzione f: affiché essa ammetta primitive, deve necessariamente soddisfare la cosiddetta proprietà dei valori intermedi.

Corollario 3.4. Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione che ammette primitive. Allora f soddisfa la proprietà dei valori intermedi (o proprietà di Darboux): se \eta è strettamente compreso tra f(a) e f(b), allora esiste \xi \in (a,b) tale che

(21) \begin{equation*} f(\xi) = \eta. \end{equation*}

\[\quad\]

Osservazione 3.3. La proprietà dei valori intermedi, essendo una condizione necessaria all’esistenza di primitive, può essere quindi usata come “criterio negativo” per stabilire che una data funzione non ammette primitive.

Esempio 3.1. La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(22) \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0, \\ 1 & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}

non soddisfa la proprietà del valor medio, infatti si ha

(23) \begin{equation*} f(-2) = 0, \qquad f(2)=1, \qquad \frac{1}{2} \in (0,1), \end{equation*}

ma non esiste alcun \xi \in (-2,2) per cui si abbia f(\xi)= \dfrac{1}{2}. Per il teorema 3.3, non esiste alcuna funzione F \colon [-2,2] \to \mathbb{R} tale che F' = f.

Possiamo chiederci se la proprietà dei valori intermedi, oltre a essere necessaria per l’esistenza di primitive, sia anche sufficiente. Più precisamente, tentiamo di rispondere alla seguente questione.

Domanda 3.1. Il teorema di Darboux si può invertire? Cioè, se f \colon [a,b] \to \mathbb{R} è una funzione soddisfacente la proprietà dei valori intermedi, si può concludere che essa è la derivata di qualche funzione F?

La risposta alla domanda è purtroppo negativa: esistono funzioni soddisfacenti la proprietà dei valori intermedi che non ammettono primitive. Per dimostrarlo, osserviamo che l’esistenza di primitive è una proprietà stabile rispetto alla somma: se f_1,f_2 ammettono rispettivamente F_1, F_2 come loro primitive, allora f_1 + f_2 ammette primitive, e una di esse è data proprio da F_1 + F_2.

Invece, la proprietà dei valori intermedi non si conserva per somma. Per verificarlo, consideriamo le funzioni f_1, f_2 \colon [-1,1] \to \mathbb{R} definite da

(24) \begin{equation*} f_1(x) = \begin{cases} \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \neq 0, \\[10pt] 0 & \text{se } x=0; \end{cases} \qquad f_2(x) \begin{cases} \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \neq 0, \\[12pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } x=0. \end{cases} \end{equation*}

Entrambe soddisfano la proprietà dei valori intermedi (verificarlo per esercizio), ma la loro differenza

(25) \begin{equation*} f_2(x) - f_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \neq 0, \\[10pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } x=0 \end{cases} \end{equation*}

non la soddisfa. Ciò in particolare implica che almeno una tra f_1 e f_2 non può ammettere primitive (se così non fosse, la loro differenza ammetterebbe primitive e quindi soddisferebbe la proprietà dei valori intermedi).


 
 

Esistenza di primitive: il teorema fondamentale del calcolo integrale

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi