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Il teorema di Heine-Cantor

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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La continuità di una funzione f è una proprietà qualitativa: essa esprime l’idea che i valori f(x_1) e f(x_2) sono “vicini” se x_1 e x_2 sono sufficientemente vicini; la nozione di continuità uniforme può essere vista come una versione quantitativa di tale proprietà: quanto devono essere vicini x_1 e x_2 se si desidera che f(x_1) e f(x_2) siano distanti al più \varepsilon? Se la risposta a tale domanda non dipende dai particolari punti x_1 e x_2, la funzione si dice uniformemente continua.

La continuità uniforme è importante in tutte le applicazioni in cui è necessario quantificare la vicinanza di valori. Pertanto risulta naturale ricercare dei criteri che permettano di stabilire la continuità uniforme a partire dalla semplice continuità.

Il teorema di Heine-Cantor è uno di questi: se il dominio di una funzione continua è chiuso e limitato, allora essa è anche uniformemente continua.

Questo articolo esplora in modo approfondito il teorema, fornendone sia una versione più pratica sia una di carattere topologico e trattando inoltre i casi in cui le ipotesi non sono verificate. Il tutto è spiegato con chiarezza e illustrato con numerosi grafici esplicativi, che mostrano come concetti apparentemente astratti si traducano in potenti strumenti per l’analisi delle funzioni.

Oltre agli esercizi sulla continuità uniforme – volume 1 e gli esercizi sulla continuità uniforme – volume 2, consigliamo il seguente materiale di teoria, di cui è reperibile una lista completa alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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Il concetto di continuità di una funzione è una proprietà locale: difatti, quando viene definita la continuità di una funzione in tutto il suo dominio si intende che tale funzione è continua in ogni suo punto.

Considerata una funzione f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ricordiamo dalla definizione che essa è detta continua in A se e solo se, per ogni x_0 \in A e per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(1) \begin{equation*} |f(x)-f(x_0)| \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}

Segue che la scelta di \delta dipende sia da \varepsilon che dal particolare punto x_0 in cui si vuole provare la continuità di f. In altre parole, affinché f(x) sia vicino a f(x_0), il punto x deve essere vicino a x_0 in una misura \delta che dipende anche dal punto x_0 fissato.

Per molte applicazioni, risulta necessario sapere che la vicinanza di f(x) e f(x_0) dipenda dalla distanza tra x e x_0 in maniera uniforme rispetto al punto x_0 considerato.

Quindi, si vuole che il numero \delta di sopra sia indipendente da x_0. In altre parole, si desidera che la misura della variazione dei valori di f(x) sia controllata solo dalla variazione della variabile x e non dal particolare punto che si sta considerando.

Questa proprietà viene appunto detta continuità uniforme. Come anticipato, essa è molto importante per le applicazioni, in quanto consente di stimare l’errore ottenuto sui valori f(x) assunti dalla funzione f in base al solo errore commesso su x e non al particolare punto x fissato.

Risulta quindi evidente che un criterio che permetta di stabilire se una funzione sia uniformemente continua è di notevole utilità. Il teorema di Heine-Cantor, che costituisce il risultato principale di questa dispensa, fornisce un tale criterio. Esso afferma che, se il dominio di una funzione f continua possiede delle proprietà topologiche, allora f è uniformemente continua. Enunciamo quindi il teorema, rimandando alla sezione 1 per le definizioni precise dei concetti.

 

Teorema 1 (Heine-Cantor). Sia A \subset \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato e sia f\colon A \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f è uniformemente continua. In particolare, la conclusione vale se A=[a,b] con a,b \in \mathbb{R}.

 

Nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati preliminari necessari. Nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1, mentre nella sezione 3 mostriamo con dei controesempi che le ipotesi del teorema sono necessarie per la validità della tesi. Nella sezione 4 presentiamo una dimostrazione alternativa del teorema di Heine-Cantor utilizzando la nozione topologica di compattezza, dopo averla adeguatamente introdotta e motivata.

 

Risultati preliminari

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In questa sezione richiamiamo le definizioni e i risultati che utilizzeremo nel seguito. Partiamo dalla definizione di continuità.

 

Definizione 2 (funzione continua). Sia A \subseteq \mathbb{R}. Una funzione f\colon A\to \mathbb{R} è detta continua in A se e solo se, per ogni x \in A e per ogni \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(2) \begin{equation*} y \in A, \;|x-y| < \delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon. \end{equation*}

 

Diamo poi la definizione di continuità uniforme, rimandando a [3, sezione 6.1] per una discussione approfondita sul tema.

 

Definizione 3 (continuità uniforme). Sia A\subseteq\mathbb{R}. Una funzione f\colon A\rightarrow \mathbb{R} si dice uniformemente continua in A se se per ogni \varepsilon>0 esiste \delta>0 tale che

(3) \begin{equation*} x,y \in A, \;|x-y| < \delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon. \end{equation*}

 

Osserviamo che, il \delta fornito dalla definizione 2 dipende quindi da \varepsilon ma anche dal particolare punto x scelto, e potrebbe quindi variare con esso. Invece, nella definizione 3, \delta è uniforme: dipende cioè solo da \varepsilon ed è invece indipendente dai punti considerati.

Una funzione f\colon A \to \mathbb{R} è quindi uniformemente continua se la distanza |f(x)-f(y)| si controlla solo con la distanza |x-y| tra x,y indipendentemente dai punti x,y scelti ed è infinitesima per |x-y|\to 0.

Dalle definizioni risulta evidente la seguente implicazione:  

f \colon A \to \mathbb{R}

\[ f \text{ uniformemente continua} \quad \Longrightarrow \quad f \text{ continua.} \]

 

Il teorema 1 fornisce appunto delle condizione sufficienti affinché valga anche l’implicazione inversa.

Presentiamo il teorema di Bolzano-Weierstrass che sarà utilizzato nella dimostrazione del teorema 1. Rimandiamo a [4] per una dimostrazione.

 

Teorema 4 (Bolzano-Weierstrass). Sia A \subseteq \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato e sia \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} una successione a valori in A. Allora esiste una sua sottosuccessione convergente a un elemento di A.

 

Utilizzeremo anche la seguente caratterizzazione della continuità per successioni, rimandando a [3, Funzioni continue, sezione 3] per una dimostrazione.

 

Teorema 5 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

 

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (4) \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

 

Dimostrazione del teorema di Heine-Cantor

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