Piccolo teorema del Dini

Home » Piccolo teorema del Dini

I limiti puntuale e uniforme di una successione di funzioni sono legati nel caso in cui questa presenti delle proprietà di monotonia. Il semplice teorema che qui presentiamo, dovuto a Ulisse Dini, mostra infatti che il limite puntuale $f$ di una successione di funzioni $f_n$ continue e crescente nel parametro $n$ è anche uniforme, nell’ipotesi che $f$ sia una funzione continua. Segnaliamo anche il risultato collegato Monotonia e convergenza uniforme sulla convergenza uniforme di una successione di funzioni monotone.

Questo breve articolo offre una prospettiva chiara ed esauriente su questo risultato: non ti resta che leggerlo!

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è tratto questo teorema:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (piccolo teorema del Dini). Sia $f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione crescente di funzioni continue, cioè tale che

(1) $\begin{equation*} f_n(x) \leq f_{n+1}(x), \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Si supponga inoltre che il limite puntuale $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ delle $f_n$ sia ovunque finito e che sia continuo.
Allora $f_n$ converge uniformemente a $f$ . Analogo risultato vale se la successione $f_n$ è decrescente.

$\,$

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che la convergenza non sia uniforme, cioè che esista $\varepsilon>0$ , una successione crescente di numeri naturali $n_k$ e una successione di punti $x_k \in [a,b]$ tali che

(2) $\begin{equation*} |f(x_k) - f_{n_k}(x_k)| = f(x_k) - f_{n_k}(x_k) \geq \varepsilon, \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza segue dal fatto che per ogni $x \in [a,b]$ si ha $f(x) \geq f_n(x)$ , poiché la successione $f_n(x)$ è crescente.
Sempre per la monotonia della successione $f_n(x)$ , si ha