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Teoremi di Rolle e Lagrange: teoria

Dimostrazione dei teoremi di Rolle e Lagrange scaricabile.

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Teoremi di Rolle e Lagrange

Descrizione

I teoremi di Rolle e Lagrange sono importanti risultati dell’analisi di funzioni reali di una variabile reale. Data una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} derivabile, essi stabiliscono una relazione tra i valori f(a),f(b) e l’assunzione di un particolare valore f'(x_0) della derivata all’interno dell’intervallo. I teoremi esprimono l’idea intuitiva secondo cui, compiendo un viaggio con una certa velocità media, a un certo punto la velocità istantanea avrà necessariamente assunto il medesimo valore, evidenziando dunque un collegamento tra le proprietà globali e locali di una funzione.

Questo pdf scaricabile discute dettagliatamente questi teoremi, con dimostrazioni, esempi e applicazioni. Precisamente, si focalizza sui seguenti argomenti:

  • Teorema di Rolle e sua dimostrazione, legata ai teoremi di Weierstrass e Fermat;
  • Teorema di Lagrange e sua dimostrazione basata sul teorema di Rolle;
  • Conseguenze e applicazioni: caratterizzazione delle funzioni costanti e legame tra segno della derivata e monotonia di una funzione.

Se desideri un’esposizione chiara ma accurata su questi temi, questo articolo è ciò di cui hai bisogno!
 

Teoremi di Rolle e Lagrange: autori e revisori

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Autore: Daniele Fakhoury.  

Revisori: Matteo Talluri, Valerio Brunetti.  

 
Oltre alle seguenti raccolte di esercizi

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Un po’ di storia

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Michel Rolle (1652–1719) è stato un matematico francese, noto principalmente per il teorema che porta il suo nome, il Teorema di Rolle, una delle fondamenta dell’analisi matematica. Nato a Ambert, in Francia, il 21 aprile 1652, Rolle proveniva da una famiglia modesta e non ricevette una formazione accademica tradizionale. Tuttavia, il suo talento matematico emerse rapidamente, permettendogli di lavorare con alcuni dei principali matematici del suo tempo.

Rolle si distinse inizialmente per i suoi contributi all’algebra. Fu uno dei primi a risolvere equazioni polinomiali utilizzando metodi sistematici e sviluppò tecniche innovative per il calcolo dei radicali. Nel 1691, entrò a far parte dell’Académie Royale des Sciences, dove pubblicò il suo lavoro sul Teorema di Rolle nel 1690. Questo risultato fondamentale afferma che, data una funzione continua su un intervallo chiuso [a, b], derivabile su (a, b), e tale che f(a) = f(b), esiste almeno un punto c \in (a, b) dove la derivata è nulla (f'(c) = 0).

Nonostante il suo talento, Rolle fu spesso critico verso le idee emergenti dell’analisi infinitesimale di Leibniz e Newton. Egli rimase scettico sull’uso dei concetti di infinitesimi e limiti, sostenendo un approccio più concreto alla matematica. Morì il 8 novembre 1719, lasciando un’eredità che, seppur limitata rispetto a quella di altri suoi contemporanei, influenzò profondamente lo sviluppo successivo dell’analisi.

Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) è stato uno dei più grandi matematici e scienziati del XVIII secolo, noto per il suo approccio rigoroso all’analisi matematica e per i suoi contributi in diversi campi, tra cui la meccanica, l’algebra e il calcolo infinitesimale. Nato a Torino, in Italia, il 25 gennaio 1736, Lagrange fu introdotto alla matematica da autodidatta e mostrò un talento straordinario fin dalla giovane età.

Lagrange divenne professore di matematica all’Accademia di Artiglieria di Torino a soli 19 anni. Nel 1755, fondò la scuola matematica torinese, contribuendo a far emergere l’Italia sulla scena matematica europea. Nel 1766, fu invitato da Federico II di Prussia a succedere a Leonhard Euler come direttore della sezione matematica dell’Accademia delle Scienze di Berlino, dove rimase per oltre vent’anni.

Uno dei suoi contributi più celebri è il Teorema di Lagrange, noto anche come Teorema del valore medio, che generalizza il Teorema di Rolle. Questo teorema stabilisce che, per una funzione continua e derivabile su un intervallo, esiste almeno un punto c \in (a, b) in cui la derivata è uguale alla pendenza della secante che unisce gli estremi dell’intervallo:

    \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Lagrange sviluppò questo risultato utilizzando il teorema di Rolle come base, applicando una funzione ausiliaria per dimostrarne la validità.

Oltre all’analisi, Lagrange contribuì alla meccanica classica con la pubblicazione del suo capolavoro, la Mécanique analytique, nel 1788, dove formulò le equazioni di Lagrange. Queste equazioni rivoluzionarono lo studio della meccanica, introducendo un approccio basato sull’energia piuttosto che sulle forze. Lagrange si trasferì a Parigi durante la Rivoluzione Francese e partecipò alla riforma del sistema metrico decimale. Morì il 10 aprile 1813 a Parigi, lasciando un’eredità scientifica straordinaria che influenzò profondamente la matematica e la fisica moderna.

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