In questo articolo è possibile scaricare la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor. La continuità di una funzione è una proprietà qualitativa: essa esprime l’idea che i valori e sono “vicini” se e sono sufficientemente vicini; la nozione di continuità uniforme può essere vista come una versione quantitativa di tale proprietà: quanto devono essere vicini e se si desidera che e siano distanti al più ? Se la risposta a tale domanda non dipende dai particolari punti e , la funzione si dice uniformemente continua.

La continuità uniforme è importante in tutte le applicazioni in cui è necessario quantificare la vicinanza di valori. Pertanto risulta naturale ricercare dei criteri che permettano di stabilire la continuità uniforme a partire dalla semplice continuità.

Il teorema di Heine-Cantor è uno di questi: se il dominio di una funzione continua è chiuso e limitato, allora essa è anche uniformemente continua.

Questo articolo esplora in modo approfondito il teorema, fornendone sia una versione più pratica sia una di carattere topologico e trattando inoltre i casi in cui le ipotesi non sono verificate. Il tutto è spiegato con chiarezza e illustrato con numerosi grafici esplicativi, che mostrano come concetti apparentemente astratti si traducano in potenti strumenti per l’analisi delle funzioni.
 

Il teorema di Heine-Cantor: autori e revisori

Oltre agli esercizi sulla continuità uniforme – volume 1 e gli esercizi sulla continuità uniforme – volume 2, consigliamo il seguente materiale di teoria, di cui è reperibile una lista completa alla fine dell’articolo:

• Funzioni continue – Teoria;
• Il teorema dei valori intermedi;
• Il teorema della permanenza del segno;
• Il teorema di Weierstrass;
• Il teorema di esistenza degli zeri.