Algebra delle matrici 5 – esercizi misti

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi di carattere generale sulle matrici: operazioni, determinante, rango. L’articolo si propone quindi come un banco di prova di esercizi sulle matrici per chi ha una preparazione solida su tali argomenti, che può ottenere dallo svolgimento delle seguenti raccolte:

Segnaliamo inoltre le raccolte successive Algebra delle matrici 6 – determinante e matrici inverse oltre a Algebra delle matrici 7 – determinante, orlati e regola di Cramer per altri esercizi sulle matrici.

Esercizi matrici: autori e revisori

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Autore: Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Volpe

Testi degli esercizi misti sull’algebra delle matrici

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

Sia

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$

Verificare che $A^2=3A$ e usare quest’uguaglianza per trovare una matrice $B \neq 0, \operatorname{Id}$ tale che $B^2=B$ .

Svolgimento.

Verifichiamo tramite un calcolo esplicito che $A^2=3A$

$A^2=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & -3 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix}=3A.$

Cerchiamo una matrice $B$ che soddisfi la proprietà richiesra fra quelle proporzionali ad $A$ , ovvero tali che $B=kA$ con $k\neq 0$ . Si ha

$B^2=k^2A^2=3k^2A=3k(kA)=3kB.$

Tale identità è soddisfatta se e solo se $k=1/3$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

Siano

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \mathbbm{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

e infine

$M=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dimostrare per induzione che $A^k= \operatorname{Id}+ (2^{k}-1)B$ , $\forall \;k \geq 1$ ;
Usare il punto precedente per calcolare $A^4$ ;
Calcolare $M^{2022}$ .

Svolgimento punto 1.

Il passo base è ovvio perché dalla definizione stessa di $A$

, ponendo $k=1$

, troviamo $A=\operatorname{Id}+B$

. Supponiamo vera la tesi per $k$

generico e calcoliamo

$A^{k+1}=A A^k=A(\operatorname{Id}+ (2^{k}-1)B)=A+(2^{k}-1)AB.$

Osservando che $AB=2B$ possiamo riscrivere il risultato come segue

$A^{k+1}=\operatorname{Id}+B+(2^{k}-1)2B=\operatorname{Id}+(2^{k+1}-1)B.$

Svolgimento punto 2.

Dal risultato ottenuto al punto precedente segue quindi

$A^4=\operatorname{Id}+15B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 15&15&0\\0&0&0\\0&0&15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 15 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix}.$

Svolgimento punto 3.

Si osservi che $M$

è un proiettore:

$M^2=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=M.$

Dunque $M^k=M$ per ogni $k\in\mathbb{N}$ . In particolare:

$M^{2022}=M.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Sia

$Z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.$

Dimostrare che $Z(\theta)Z(\theta')=Z(\theta+\theta')$ $\forall\; \theta,\theta' \in \mathbb{R}$ .
Utilizzare il punto precedente per dimostrare che $Z^{-1}(\theta)=Z^T(\theta)=Z(-\theta)$ e che $Z^n(\theta)=Z(n\theta)$ $\forall\; n \in \mathbb{Z}$ .

Svolgimento.

Siano $\theta, \theta' \in \R$

. Si ha

(1) $\begin{equation*} \begin{aligned} Z(\theta)Z(\theta')= & \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta') & -\sin(\theta') \\ \sin(\theta') & \cos(\theta') \end{pmatrix}= \\ & \begin{pmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta') & -\cos(\theta)\sin(\theta')-\sin(\theta)\cos(\theta') \\ \cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta') & \cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta') \end{pmatrix}=\\ & \begin{pmatrix} \cos(\theta+\theta') & -\sin(\theta+\theta') \\ \sin(\theta+\theta') & \cos(\theta+\theta') \end{pmatrix}=Z(\theta+\theta'). \end{aligned} \end{equation*}$

Da quanto dimostrato segue immediatamente che per ogni $n\in\mathbb{Z}$

$Z^n(\theta)=Z(n\theta).$

Ponendo $\theta'=-\theta$ nell’identità appena dimostrata otteniamo\

$Z(\theta)Z(-\theta)=Z(0)=\operatorname{Id}.$

Quindi per invertire $Z(\theta)$ basta cambiare il segno dell’angolo: inoltre l’inversa coincide con la trasposta per le note proprietà delle funzioni goniometriche.

$Z^{-1}(\theta)=Z(-\theta)\begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) &\sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}=Z^T(\theta).$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Sia $A \in \mathcal{M}(n,n;\R)$

una matrice della forma

$A=\left(\begin{array}{c|c} B & C \\ \hline 0 & D \end{array}\right)$

con $B\in\mathcal{M}(h,h;\R)$ e $D\in\mathcal{M}(n-h,n-h;\R)$ , dove $0<h<n$ .

Dimostrare che se $B$ è invertibile allora

$\left(\begin{array}{c|c} B & C \\ \hline 0 & D \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c|c} B & 0 \\ \hline 0 & I_{n-h} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} I_h & B^{-1}C \\ \hline 0 & D \end{array}\right).$

Svolgimento.

Sia $A$

la matrice a sinistra dell’uguaglianza e $A'$

, $A''$

, rispettivamente, i fattori del prodotto a destra dell’uguaglianza.

$\,$

Siccome le prime $h$ colonne di $A''$ sono i primi $h$ vettori della base canonica di $\R^n$ , otteniamo che le prime $h$ colonne della matrice prodotto $A'A''$ sono le prime $h$ colonne di $A'$ , cioè $\left(\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right)$ .

$\,$

Ragionando analogamente per il prodotto $(A'')^T(A')^T$ otteniamo che le ultime $n-h$ righe di $A'A''$ sono le ultime $n-h$ righe di $A''$ , cioè $(0 \quad D)$ .

$\,$

Per concludere basta osservare che

$\left(\begin{array}{c|c} B & 0 \\ \hline 0 & I_{n-h} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} B^{-1}C \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} C \\ 0 \end{array}\right).$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Sia $V=\mathcal{M}(2,2;\mathbb{R})$

e si considerino i seguenti sottospazi

$U=\{ X \in V : (1\;2)X=(0 \;0) \},$

$W= \left\{ X\in V : X\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\right\}.$

Si determini una base e la dimensione di $U, W$ e di $U \cap W, U+W$ .

Svolgimento.

Per trovare una base di $U$

si osservi che la condizione $(1\;2)X=(0\;0)$

è equivalente a richiedere che ogni colonna di $X$

sia nel nucleo di $(1\;2)$

. Data una colonna di $X$

, ad esempio $\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$

, si deve avere $x+2y=0$

, dunque

$U=\left\{ X = \begin{pmatrix} -2\lambda & -2\mu \\ \lambda & \mu \end{pmatrix}: \lambda,\mu \in \R\right\},$

e la dimensione è $2$ . Una base può ottenersi ponendo $\mu=0$ e $\lambda=1$ e poi, vice versa, $\mu=1$ e $\lambda=0$ :

$\mathcal{B}_U= \left\{ \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}.$

Ragionando analogamente per $W$ troviamo

$W= \left\{ X = \begin{pmatrix} t & t \\ s & s \end{pmatrix}: t,s \in \R \right\},$

dunque la dimensione è $2$ e una base può ottenersi ponendo $s=0$ e $t=1$ e poi, vice versa, $s=1$ e $t=0$ :

$\mathcal{B}_W= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}.$

Per studiare l’intersezione impostiamo l’equazione matriciale

$\begin{pmatrix} -2\lambda & -2\mu \\ \lambda & \mu \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t & t \\ s & s \end{pmatrix}$

troviamo $\lambda=\mu$ , quindi $U \cap W$ ha dimensione $1$ . Una base è quindi

$\mathcal{B}_{U\cap W}= \left\{ \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}.$

Dalla formula di Grassmann deduciamo che

$\dim_{\R}(U+W)=\dim_{\R}(U)+\dim_{\R}(W)-\dim_{\R}(U\cap W)=2+2-1=3,$

quindi, siccome $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ appartiene a $W$ e non ad $U$ , una possibile base di $U+W$ è:

$\mathcal{B}_{U+ W}= \left\{ \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}.$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 23 esercizi risolti, contenuti due dispense: una di 15 pagine e un’altra di 3 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dell’algebra delle matrici.

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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