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Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango

Presentiamo 4 esercizi svolti sul calcolo del rango di una matrice. Di ogni esercizio presentiamo una soluzione completa, per permettere al lettore di capire come affrontare questa importante e delicata tematica. Riportiamo inoltre gli articoli Algebra delle matrici 2 – determinante oltre a Algebra delle matrici 5 – esercizi misti per problemi relativi ad argomenti collegati.

 

Introduzione

Leggi...

In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo del rango di una matrice mediante l’algoritmo di Gauss (riduzione a gradini). I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali e Matteo Talluri.


 

Testi degli esercizi sul calcolo del rango

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Data la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right)\]

dire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando la risposta.
 

  1. rk A=2 per ogni valore h\in\mathbb{R}.
  2. \det(A)=4 se e solo se h=0.

Svolgimento punto 1.

L’affermazione è vera.

Consideriamo infatti la matrice

    \[A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right).\]

Applicando la seguente formula generale per il calcolo del determinante delle matrici quadrate 2\times 2

    \[\det\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)=ad-bc,\]

si ottiene che

    \[\det A=h^{2}+4.\]

Per la teoria generale sul rango di matrici, una matrice quadrata avente determinante non nullo ha rango massimo. In particolare, nel caso di matrici quadrate 2\times 2, se il determinante è diverso da zero allora la matrice in questione avrà rango massimo 2.

Applicando questa proprietà al caso della matrice

    \[A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right),\]

si osserva che

    \[\det A=h^{2}+4\neq 0\quad \forall h\in\mathbb{R}.\]

Segue quindi che

    \[\operatorname{rk}(A)=2\quad \forall h\in\mathbb{R}.\]

Svolgimento punto 2.

Questa affermazione è vera.

Infatti, per il punto precedente, si ha che

    \[\det (A)=h^{2}+4,\]

quindi

    \[\det (A)=4\Longleftrightarrow h=0.\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Al variare del parametro reale k, calcolare il rango delle seguenti matrici:

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

e

    \[B=\begin{pmatrix} k & k-1 & k \\ 0 & 2k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{pmatrix}.\]

Calcolo rango di A.

Consideriamo la matrice

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

e ne calcoliamo il determinante.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

    \begin{align*} \det (A)&=1\cdot\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)-0\cdot\det \left(\begin{array}{cc} k & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+1\cdot\det \left(\begin{array}{cc} k & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1-4+2k=\\&=2k-3. \end{align*}

Come già detto nell’esercizio precedente, una matrice quadrata avente determinante diverso da zero ha rango massimo, ovvero 3 nel caso delle matrici quarate 3\times 3.

Quindi, siccome

    \[\det(A)\neq 0\Longleftrightarrow k\neq \frac{3}{2},\]

si ha che

    \[k\neq \frac{3}{2}\Longrightarrow \operatorname{rk}A=3.\]

Ci resta ora da vedere il caso in cui k=\frac{3}{2}.

La matrice A diventa

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ \frac{3}{2} & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} .\]

Osserviamo che \operatorname{rk}A\leq 2 in quanto \det(A)=0 e quindi A non può avere rango massimo. Inoltre la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti perchè non sono una multiplo dell’altra, quindi \operatorname{rk}A\geq 2 in quanto la matrice A ha almeno due righe linearmente indipendenti.

Ma allora possiamo concludere che

    \[k=\frac{3}{2}\Longrightarrow\operatorname{rk}A=2.\]

Calcolo rango di B.

Consideriamo la matrice

    \[B=\begin{pmatrix} k & k-1 & k \\ 0 & 2k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{pmatrix}.\]

Analogamente a quanto fatto per la matrice A, calcoliamo il determinante della matrice B.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga si ottiene che

    \begin{align*} \det(B)&=-0\cdot \det\left(\begin{array}{cc} k-1 & k \\ k-1 & 2-k \end{array}\right)+(2k-2)\cdot\det\left(\begin{array}{cc} k & k \\ 1 & 2-k \end{array}\right)-0\cdot \det \left(\begin{array}{cc} k & k-1 \\ 1 & k-1 \end{array}\right)=\\&=(2k-2)\cdot (k(2-k)-k)=\\&=(2k-2)\cdot (2k-k^{2}-k)=\\&=2(k-1)(k-k^{2})=\\&=-2k(k-1)^{2}. \end{align*}

Analogamente a quanto detto nel punto prcedente, essendo

    \[\det(B)\neq 0\Longleftrightarrow k\neq 0\; \wedge \; k\neq 1\]

si ha che

    \[\operatorname{rk}B=3 \Longleftrightarrow k \neq 0\; \wedge \; k\neq 1.\]

Vediamo ora il caso k=0. In tal caso la matrice B diventa

    \[B=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.\]

Abbiamo appena visto che per k=0 si ha \det(B)=0, quindi, per quanto già visto nel punto precedente, \operatorname{rk}B\leq 2.

Inoltre, osserviamo che la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti. Di conseguenza, ricordando che il rango per righe di una matrice è uguale al rango per colonne, e avendo la matrice B due righe linearmente indipendenti segue che \operatorname{rk}B\geq2.

Ma allora possiamo concludere che

    \[k=0\Longrightarrow \operatorname{rk}B=2.\]

Vediamo infine il caso k=1.

In questo caso la matrice B diventa

    \[B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Analogamente al caso k=0, avendo la matrice B il determinante nullo si ha che \operatorname{rk}B\leq 2. Inoltre osserviamo che la prima e la terza riga sono uguali, dunque linearmente dipendenti, mentre la seconda riga è nulla e quindi linearmente dipendente alle altre.

Possiamo perciò concludere che

    \[k=1\Longrightarrow \operatorname{rk}B=1.\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare il rango delle seguenti matrici:

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix},\]

    \[\]

    \[C=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad D=\left(\begin{array}{cc} \pi & \pi^{2} \\ \pi^{2} & \pi^{3} \end{array}\right).\]

Calcolo rango di A.

Consideriamo la matrice

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

e indichiamo con r_{1},r_{2}, r_{3} le sue righe.

Applicando l’algoritmo di Gauss si ottiene che

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\stackrel{\begin{array}{l} r_{1}\rightarrow r_{1}-2r_{2}\\ r_{3}\rightarrow r_{3}-3r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(1,0);}}&\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 4 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{1}\leftrightarrow r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-1,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{3}\rightarrow r_{3}-\frac{5}{3}r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Possiamo quindi concludere che \operatorname{rk}A=3.

Calcolo rango di B.

Consideriamo la matrice

    \[B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

e indichiamo con r_{1},r_{2}, r_{3},r_{4} le sue righe.

Applichiamo l’algoritmo di Gauss ottenendo

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\stackrel{\begin{array}{l} r_{1}\rightarrow r_{1}-2r_{2}\\ r_{4}\rightarrow r_{4}-r_{1} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}& \begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\ \stackrel{\begin{array}{l} r_{3}\rightarrow r_{3}-3r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 4 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{1}\leftrightarrow r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-1,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{2}\rightarrow r_{2}-3r_{4}\\ r_{3}\rightarrow r_{3}-5r_{4} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{2}\leftrightarrow r_{4} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-1,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{4}\rightarrow r_{4}-\frac{6}{9}r_{3} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Possiamo quindi concludere che \operatorname{rk}B=3.

Calcolo rango di C.

Consideriamo la matrice

    \[C=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

Siccome C ha 2 colonne, abbiamo che \operatorname{rk}C\leq 2. Inoltre, osserviamo che la prima e seconda riga sono linearmente indipendenti, in quanto non sono una multiplo dell’altra.

Possiamo quindi concludere che \operatorname{rk}C=2.

Calcolo rango di C (metodo alternativo).

In realtà, era possibile utilizzare l’algoritmo di Gauss come abbiamo fatto con la matrice B nel punto precedente.

Di seguito i calcoli:

    \begin{align*} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\stackrel{r_{2}\leftrightarrow r_{1}}{\longrightarrow}&\begin{pmatrix} 1 & 100 \\ -2 & 0 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\ \stackrel{r_{2}\rightarrow r_{2}+2r_{1}\atop r_{3}\rightarrow r_{3}-3r_{1}}{\longrightarrow}&\begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 200 \\ 0 & -299 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\ \stackrel{r_{2}\leftrightarrow r_{4}}{\longrightarrow}&\begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \\ 0 & -299 \\ 0 & 200 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{r_{3}\rightarrow r_{3}+299r_{2}\atop r_{4}\rightarrow r_{4}-200r_{2}}{\longrightarrow}&\begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Calcolo rango di D.

Consideriamo la matrice

    \[D=\left(\begin{array}{cc} \pi & \pi^{2} \\ \pi^{2} & \pi^{3} \end{array}\right).\]

Applicando l’algoritmo di Gauss si ottiene che

    \[\left(\begin{array}{cc} \pi & \pi^{2} \\ \pi^{2} & \pi^{3} \end{array}\right)\stackrel{ \begin{array}{l} r_{2}\rightarrow r_{2}-\pi r_{1} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.2,0);}}\left(\begin{array}{cc} \pi & \pi^{2} \\ 0 & 0 \end{array}\right),\]

da cui \operatorname{rk}D=1.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Provare che la seguente matrice ha rango 2:

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento.

Consideriamo la matrice

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} .\]

Innanzitutto calcoliamo il prodotto righe per colonne ottenendo:

    \begin{align*} A&=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&= \begin{pmatrix} 2\cdot1-1\cdot 1 & -1\cdot 2+1\cdot 1 & -1\cdot 2+1\cdot 1 & 2\cdot 1+1\cdot 1\\ 1\cdot 1-1\cdot 2 & -1\cdot 1+1\cdot 2 & -1\cdot 1+1\cdot 2 & 1\cdot 1+1\cdot 2 \\ 1\cdot 3-1\cdot 0 & -1\cdot 3+1\cdot 0 & -1\cdot 3+1\cdot 0 & 1\cdot 3+1\cdot 0\\ 1\cdot 1-1\cdot 3 & -1\cdot 1+1\cdot 3 & -1\cdot 1+1\cdot 3 &1\cdot 1+1\cdot 3 \end{pmatrix}=\\\\&=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & -3 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} . \end{align*}

Applichiamo ora l’algoritmo di Gauss per determinare il rango.

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & -3 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \stackrel{ \begin{array}{l} r_{2}\rightarrow r_{2}+r_{1}\\ r_{3}\rightarrow r_{3}-3r_{1}\\ r_{4}\rightarrow r_{4}+2r_{1} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.2,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{3}\rightarrow r_{3}+r_{2}\\ r_{4}\rightarrow r_{4}-\frac{10}{6}r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.2,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Possiamo quindi concludere che il rango della matrice A è 2.

Svolgimento (metodo alternativo).

In realtà, esiste una soluzione alternativa per il calcolo del rango che in cui non serve calcolare il prodotto e poi applicare l’Algoritmo di Gauss, e in cui quindi il numero di calcoli necessari si riduce drasticamente.

Questa soluzione alternativa sfrutta il teorema secondo cui, date due matrici M_{1} e M_{2}, il rango del prodotto

M_{1} M_{2} soddisfa la seguente proprietà:

    \[\operatorname{rk}(M_{1} M_{2})\leq \min\{\operatorname{rk}(M_{1}),\operatorname{rk}(M_{2})\}.\]

Come corollario immediato si ha che:

  • se il rango di M_{2} coincide con il numero delle sue righe allora il rango del prodotto coincide con il rango di M_{1},
  • se il rango di M_{1} coincide con il numero delle sue colonne allora il rango del prodotto coincide con quello di M_{2}.

Nel nostro caso è evidente che le due matrici da moltiplicare hanno rango 2, in quanto possiamo osservare che le due colonne della prima matrice non sono multiple tra loro e le due righe della seconda non sono multiple tra loro.

Come conseguenza, siccome rientriamo in ciascuno dei due casi in cui il rango del prodotto coincide con il rango di uno dei fattori, essendo entrambi i fattori di rango 2 allora il rango del prodotto, ovvero il rango di A, è 2.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Al variare del parametro k, determinare il rango delle seguenti matrici:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cccc} 2 & k & 0 & 2 \\ k & 2 & 0 & k \\ 1 & 0 & k & k \end{array}\right),\]

    \[\]

    \[C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -k & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -k & 0 \\ k & 0 & -k & -1 \end{array}\right),\quad D=\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right).\]

Calcolo rango di A .

Consideriamo la matrice

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{pmatrix}.\]

Essendo A una matrice quadrata, applicando lo stesso ragionamento dell’Esercizio 2 calcoliamo il determinante di A,

sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza riga:

    \begin{align*} \det (A)&=k\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} -k\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}+k\cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}=\\\\&=k\cdot (12-15)-k\cdot (6-12)+k\cdot (5-8)=\\\\&=-3k+6k-3k=0. \end{align*}

Siccome

    \[\det (A)=0\quad \forall k\in\mathbb{R}.\]

allora la matrice A non può avere rango massimo per nessun valore di k, quindi \operatorname{rk}A\leq 2 per ogni k.

Tuttavia, osserviamo che la prima e la seconda riga di A sono linearmente indipendenti in quanto non esiste \lambda\in\mathbb{R} tale che r_{2}=\lambda r_{1}. Come conseguenza, avendo due righe linearmente indipendenti si ottiene che \operatorname{rk}A\geq 2.

Mettendo insieme quanto trovato, possiamo concludere che

    \[\operatorname{rk}A=2\quad\forall k\in\mathbb{R}.\]

Calcolo rango di B.

Consideriamo la matrice

    \[B=\begin{pmatrix} 2 & k & 0 & 2 \\ k & 2 & 0 & k \\ 1 & 0 & k & k \end{pmatrix}.\]

Applichiamo l’algoritmo di Gauss ottenendo

    \begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & k & 0 & 2 \\ k & 2 & 0 & k \\ 1 & 0 & k & k \end{pmatrix}\stackrel{\begin{array}{l} r_{1}\leftrightarrow r_{3} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-1,0)--(0.2,0);}}& \begin{pmatrix} 1 & 0 & k & k \\ k & 2 & 0 & k \\ 2 & k & 0 & 2 \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{2}\rightarrow r_{2}-kr_{1}\\ r_{3}\rightarrow r_{3}-2r_{1} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.2,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 0 & k & k \\ 0 & 2 & -k^{2} & k-k^{2} \\ 0 & k & -2k & 2-2k \end{pmatrix}\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{3}\rightarrow r_{3}-\frac{k}{2}r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.2,0);}}&\begin{pmatrix} 1 & 0 & k & k \\ 0 & 2 & -k^{2} & k-k^{2} \\ 0 & 0 & -k^{2}+\frac{k^{3}}{2} & 2-2k-\frac{k^{2}}{2}+\frac{k^{3}}{2} \end{pmatrix}. \end{align*}

Innanzitutto osserviamo che il rango della matrice B è sempre maggiore o uguale a 2 in quanto le prime due righe sono linearmente indipendenti per ogni valore di k.

Dobbiamo ora vedere per quali k la terza riga è identicamente nulla.

Innanzitutto

    \[-k^{2}+\frac{k^{3}}{2}=0\Longleftrightarrow k^{2}\left(-1+\frac{k}{2}\right)=0\Longleftrightarrow k=0,2.\]

Osserviamo che nel caso k=0 la matrice B, che diventa

    \[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

mediante l’Algoritmo di Gauss visto prima, viene trasformata nella matrice

    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\]

che ha rango 3. Quindi, possiamo concludere che per k=0 il rango di B è 3.

Nel caso in cui invece k=2 la matrice B viene trasformata mediante l’Algoritmo di Gauss in

    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

che ha rango 2.

Possiamo concludere che

    \[k=2\Longrightarrow \operatorname{rk}B=2\]

e

    \[k\neq 2\Longrightarrow \operatorname{rk}B=3.\]

Calcolo rango di B (metodo alternativo).

Analogamente a quanto visto prima, esiste una soluzione alternativa in cui non è necessario applicare l’Algoritmo di Gauss per il calcolo del rango della matrice B.

Infatti, data la forma delle righe della matrice

    \[B=\begin{pmatrix} 2 & k & 0 & 2 \\ k & 2 & 0 & k \\ 1 & 0 & k & k \end{pmatrix}.\]

si può osservare che:

  • se k\neq 0 la terza riga è l’unica con un elemento non nullo sulla terza colonna, quindi per k\neq 0 la terza riga è indipendente dalle altre 2. Inoltre, la seconda riga ha k dove la prima ha 2 e viceversa, quindi queste due righe sono dipendenti, ovvero sono una multipla dell’altra, solo se sono uguali, cioè solo se k=2. Se k\neq 0 e k\neq 2 si può quindi concludere che la matrice B ha rango 3;
  • se k=0 la prima riga diventa l’unica ad avere un elemento non nullo sulla quarta colonna e la seconda riga è l’unica ad avere un elemento non nullo sulla seconda colonna, quindi le tre righe sono ancora indipendenti tra loro e il rango della matrice B è ancora 3;
  • se k=2 le prime due righe diventano uguali e quindi non sono indipendenti, ma la terza riga resta indipendente dalle altre due perché abbiamo già visto che la terza riga è sicuramente indipendente quando k\neq 0. Avendo quindi due righe indipendenti si può concludere che se k=2 allora il rango della matrice B è 2.

Calcolo rango di C.

Consideriamo la matrice

    \[C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -k & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -k & 0 \\ k & 0 & -k & -1 \end{array}\right).\]

Applicando l’Algoritmo di Gauss otteniamo

    \begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & -k & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -k & 0 \\ k & 0 & -k & -1 \end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l} r_{2}\rightarrow r_{2}-r_{1}\\ r_{3}\rightarrow r_{3}-k r_{1} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\left(\begin{array}{cccc} 1 & -k & 0 & 0 \\ 0 & k & -k & 0 \\ 0 & k^{2} & -k & -1 \end{array}\right)\longrightarrow\\&\\\stackrel{\begin{array}{l} r_{3}\rightarrow r_{3}-k r_{2} \end{array} }{\tikz{\draw[->](-2,0)--(0.3,0);}}&\left(\begin{array}{cccc} 1 & -k & 0 & 0 \\ 0 & k & -k & 0 \\ 0 & 0 & -k+k^{2} & -1 \end{array}\right). \end{align*}

Abbiamo due casi.

  • Se k=0 allora la matrice C diventa

        \[C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)\]

    e attraverso l’Algoritmo di Gauss si ottiene la matrice

        \[\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right).\]

    Avendo due righe linearmente indipendenti e una nulla, si ha che

        \[k=0\Longrightarrow\operatorname{rk}C=2.\]

  • Se k\neq 0 allora la matrice C ha tre righe linearmente indipendenti, quindi ha rango massimo, da cui

        \[k\neq 0\Longrightarrow \operatorname{rk}C=3.\]

Calcolo rango di C (metodo alternativo).

Analogamente a quanto detto per la matrice B, esiste una soluzione alternativa per il calcolo del rango di C in cui non si fa uso dell’Algoritmo di Gauss.

Infatti possiamo osservare che:

  • se k\neq 0 allora la prima riga è l’unica ad avere un elemento non nullo nella seconda colonna, quindi è indipendente dalle altre due. Inoltre la terza riga è l’unica ad avere un elemento non nullo nella quarta colonna e quindi è indipendente dalle altre due.

    Possiamo quindi concludere che per k\neq 0 il rango della matrice C è 3;

  • se k=0 le prime due righe diventano uguali, mentre la terza riga è indipendente dalle altre.

    Segue quindi che per k=0 il rango della matrice C è 2.

Calcolo rango di D.

Consideriamo la matrice

    \[D=\left(\begin{array}{lll} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right).\]

Essendo una matrice quadrata, possiamo calcolare il determinante ed ottenere informazioni sul rango a partire dai k in cui il determinante non si annulla.

Vediamo innanzitutto per quali k il determinante è diverso da zero, ovvero la matrice D ha rango massimo.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

    \begin{align*} \det(C)&=k\cdot\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} -1\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=k\cdot(k^{2}-1)-(k-1)+(1-k)=\\&=k^{3}-k-k+1+1-k=\\&=k^{3}-3k+2. \end{align*}

Osserviamo che \det(D)=0 se e solo se k^{3}-3k+2=0.

Nel caso del polinomio k^{3}-3k+2=0 le radici intere sono da ricercarsi tra i divisori di 2. Le possibili radici intere sono dunque \pm 1, \pm 2 e si verifica facilmente che 1 e -2 sono tutte le radici reali del polinomio.

Siccome k=1,-2 sono soluzioni di k^{3}-3k+2=0, allora esse sono tutte e sole le radici di k^{3}-3k+2=0, che sono reali, anzi razionali, in quanto il polinomio k^{3}-3k+2=0 è a coefficienti interi ed in particolare il termine noto, che in questo caso è 2, è il prodotto delle radici del polinomio.

Quindi

    \[\det (D)=0\Longleftrightarrow k=1,-2.\]

Abbiamo quindi tre casi.

  • Nel caso k\neq 1,-2 abbiamo visto che il determinante della matrice D non è nullo.

    Siccome una matrice avente determinante non nullo ha sempre rango massimo, segue che

        \[k\neq 1,-2\Longleftrightarrow \operatorname{rk}D=3.\]

  • Consideriamo il caso k=1.

    In questo caso la matrice diventa

        \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right).\]

    Osserviamo che le righe sono tutte uguali, quindi in particolare linearmente dipendenti, e non nulle.Come conseguenza, il rango della matrice D è 1, ovvero

        \[k=1\Longrightarrow \operatorname{rk}D=1.\]

  • Nel caso k=-2 la matrice diventa

        \[\left(\begin{array}{lll} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right).\]

    Osserviamo che la prima e la seconda riga sono linearmente indipendenti, ovvero non esiste \lambda\neq 0 tale che

        \[r_{1}=\lambda r_{2}.\]

    Come conseguenza, avendo la matrice almeno due righe linearmente indipendenti, si ha che \operatorname{rk}D\geq 2.

    Tuttavia, abbiamo visto che per k=-2 il determinante si annulla, quindi la matrice non può avere rango massimo 3, quindi \operatorname{rk}D\leq 2.

    Possiamo quindi concludere che

        \[k=-2\Longrightarrow \operatorname{rk}D=2.\]

 

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