Algebra delle Matrici 6 (Calcolo del determinante e della matrice inversa)

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L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date

A= \begin{pmatrix} 		1 & -1 \\ 		0 & -1 		\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix} 		1 & 0 \\ 		2 & -1 		\end{pmatrix}.

Calcolare
 

  1. A^{-1},
  2. B^{-1},
  3. (AB)^{-1},
  4. \det(2BA^{-1}),
  5. (A^t)^{-1}.

Svolgimento 1.

A^{-1}=A.

Svolgimento 2.

B^{-1}=B.

Svolgimento 3.

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA=\begin{pmatrix} 			1 & -1 \\ 			2 & -1 		\end{pmatrix}.

Svolgimento 4.

\det(2BA^{-1})=2^2 \, det(B)\,det(A)^{-1}=4(-1)(-1)=4.

Svolgimento 5.

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t=A^t=\begin{pmatrix} 			1 & 0 \\ 			-1 & -1 		\end{pmatrix}.

 
 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Disegnare i parallelogrammi/parallelepipedi costruiti sui seguenti insiemi di vettori e calcolarne le aree/volumi:

    \[\left\{ 		\left( 		\begin{array}{c} 		1 \\ 		0 		\end{array}\right),\left( 		\begin{array}{c} 		1 \\ 		1 		\end{array}\right) 		\right\}, \; 		\left\{ 		\left( 		\begin{array}{c} 		2 \\ 		2 		\end{array}\right),\left( 		\begin{array}{c} 		0 \\ 		1 		\end{array}\right) 		\right\}, \; 		\left\{ 		\left( 		\begin{array}{c} 		2 \\ 		0 		\end{array}\right),\left( 		\begin{array}{c} 		3 \\ 		3 		\end{array}\right) 		\right\}\]

    \[\left\{ 		\left( 		\begin{array}{c} 		1 \\ 		0 \\ 		3 		\end{array}\right),\left( 		\begin{array}{c} 		1 \\ 		1 \\ 		4 		\end{array}\right), 		\left( 		\begin{array}{c} 		0 \\ 		1 \\ 		9 		\end{array}\right) 		\right\}, \; 		\left\{ 		\left( 		\begin{array}{c} 		2 \\ 		2 \\ 		2 		\end{array}\right),\left( 		\begin{array}{c} 		2 \\ 		2 \\ 		1 		\end{array}\right), 		\left( 		\begin{array}{c} 		0 \\ 		1 \\ 		0 		\end{array}\right) 		\right\}\]

Premessa teorica.

Ricordiamo che, dati n vettori linearmente indipendenti v_1,\dots,v_n \in \R^n, il volume (n-dimensionale) del parallelepipedo (n-dimensionale) costruito su tali vettori è la quantità

    \[Vol_n(P)=|\det(A)|\]

(dove A è la matrice avente i v_i come colonne o come righe).

Svolgimento.

Rispettivamente 1,2,6; 8,2.

 
 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Date le matrici

    \[A= \begin{pmatrix} 		-1 & 2 & 3 \\ 		2 & 3 & 4 \\ 		3 & 4 & -5 		\end{pmatrix} \;\textit{ e }\; B= \begin{pmatrix} 		1 & 0 & 2 \\ 		-1 & 1 & 1 \\ 		1 & 1 & 7 		\end{pmatrix}\]

 

  1. Calcolare il determinante di A e B usando sia l’algoritmo di Gauss che lo sviluppo di Laplace;
  2. Verificare il teorema di Binet: \det(AB)=\det(A)\det(B).

Svolgimento 1.

Si ha \det(A)=72, \det(B)=2;

Svolgimento 2.

Si ha AB= \begin{pmatrix} 	0 & 5 & 21 \\ 	3 & 7 & 35 \\ 	-6 & -1 & -25 \end{pmatrix}.

Sviluppando per semplicità rispetto alla prima colonna (o alla prima riga) troviamo

\det(AB)= 144= \det(A)\det(B).


 
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare il determinante di

    \[A= 		\begin{pmatrix} 		0 & 3 &   6 & 0 & 1 & 0 &-2 \\ 		0 & 0 &   0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 		-1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 		0 &  2& 3 & 0 & 1 & 0 &-7 \\ 		0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 		0 & 1 & -4& 0 & -1& 0 & 9 \\ 		1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 		\end{pmatrix}\]

Calcolo determinante.

Sviluppando nell’ordine lungo la seconda riga, lungo la quinta colonna e lungo l’ultima riga otteniamo

\det(A)=-6\det\begin{pmatrix} 		3 & 6 & 1 & -2 \\ 		-1 & 2 & 0 & 1 \\ 		2 & 3 & 1 & -7 \\ 		1 & -4 & -1 & 9 	\end{pmatrix}

Sottraendo la terza riga dalla prima e sommandola alla quarta otteniamo

\det(A)=-6\det\begin{pmatrix} 		1 & 3 & 0 & 5 \\ 		-1 & 2 & 0 & 1 \\ 		2 & 3 & 1 & -7 \\ 		3 & -1 & 0 & 2 	\end{pmatrix}=-6\det\begin{pmatrix} 		1 & 3 & 5 \\ 		-1 & 2 & 1 \\ 		3 & -1 & 2 	\end{pmatrix}.

Con lo sviluppo di Laplace o con il metodo di Gauss otteniamo che il determinante dell’ultima matrice 3 \times 3 è uguale a -5. Dunque

\det(A)=(-6)(-5)=30.


 
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare il determinante di

    \[A=\begin{pmatrix} 	1 & 0 & 0 & 0 \\ 	0 & 1 & k & -1 \\ 	1 & 1 &-1 & 1 \\ 	0 & 2 & 0 & -1 	\end{pmatrix}\]

e determinare per quali valori di k\in \R la matrice A risulta invertibile.

Svolgimento.

Questo è un caso in cui è preferibile procedere con gli sviluppi di Laplace, in quanto l’algoritmo di Gauss porterebbe a una serie di sottocasi scomodi da trattare. Cominciamo sviluppando lungo la prima riga e poi sommando il doppio della terza colonna alla prima colonna del minore ottenuto

\det(A)=\det\begin{pmatrix} 		1 & k & -1 \\ 		1 & -1 & 1 \\ 		2 & 0 & -1 	\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} 		-1 & k & -1 \\ 		3 & -1 & 1 \\ 		0 & 0 & -1 	\end{pmatrix}= -(1-3k)=3k-1.

Dunque A è invertibile sse k\neq \frac{1}{3}.


 
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia A \in \mathcal{M}(n,n;\R) una matrice della forma

    \[A=\left(\begin{array}{c|c} 	B & C \\ 	\hline 	0 & D 	\end{array}\right)\]

con B\in\mathcal{M}(h,h;\R) e D\in\mathcal{M}(n-h,n-h;\R), dove 0<h<n.
Dimostrare che \det(A)=\det(B)\det(D).

Suggerimento Fare prima il caso in cui o B o D è diagonale. Per il caso generale osservare che se B è invertibile allora

    \[\left(\begin{array}{c|c} 	B & C \\ 	\hline 	0 & D 	\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c|c} 	B & 0 \\ 	\hline 	0 & 	\mathbbm{1}_{n-h} 	\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c} 	\mathbbm{1}_h & B^{-1}C \\ 	\hline 	0 & D 	\end{array}\right).\]

Svolgimento.

Se \det(B)=0 allora anche \det(A)=0 poichè le prime h colonne di A sono linearmente dipendenti, in quanto lo sono le colonne di B. Il caso diagonale segue subito dallo sviluppo di Laplace rispetto le prime h colonne (o rispetto le ultime n-h righe).

Infine concludiamo grazie al suggerimento (osservando che le matrici identità sono diagonali) e al teorema di Binet.


 
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia Cof(A) la matrice cofattore di A, cioè la matrice che ha come entrata (i,j) il “complemento algebrico” (-1)^{i+j}\det(\widehat{A}_{ji}).

 

  1. Dimostrare che A\cdot Cof(A)= \det(A)I_n e usare la formula precedente per calcolare l’inversa della matrice

        \[A=\begin{pmatrix} 			1 & 0 & 2 \\ 			-1 &  3& 1 \\ 			1 & 0 & 7 			\end{pmatrix}\]

  2. Calcolare l’inversa della matrice al punto precedente con il metodo di Gauss

        \[$\displaystyle \left( \begin{array}{c|c} 			A & \mathbbm{1} 			\end{array} \right) \curvearrowright \left( \begin{array}{c|c} 			\mathbbm{1}	 & A^{-1} 			\end{array} \right)$\]

  3. Risolvere, usando l’inversa di A, il sistema lineare Ax=b, dove b=(1,1,1).

Svolgimento 1.

Si ha che

    \begin{equation*} 	\sum_{k=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ik}\det(A_{jk})=\begin{cases} 	0, & \mbox{se } i\neq j; \\ 	\det(A), & \mbox{se } i=j. 	\end{cases} 	\end{equation*}

Se i=j allora la formula coincide con lo sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima riga. Se i\neq j allora riconosciamo lo sviluppo di Laplace lungo la j-esima riga di una matrice avente la j-esima riga uguale alla i-esima riga e dunque il determinante è zero;

Svolgimento 2.

A^{-1}=\begin{pmatrix} 	{7}/{5} & 0 & -{2}/{5} \\ 	{8}/{15} & {1}/{3} & -{1}/{5} \\ 	-{1}/{5} & 0 & {1}/{5} 	\end{pmatrix}.

Svolgimento 3.

Abbiamo che x=A^{-1}b, ovvero x=(1, 2/3, 0).