Algebra delle Matrici 7 — Determinanti, Orlati, Cramer.

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Algebra delle matrici 7 – Determinanti, orlati, Cramer

Presentiamo 5 esercizi svolti sul calcolo dei determinanti, sul metodo degli orlati per il calcolo del rango e sulla regola di Cramer. Poiché le tematiche affrontate sono varie, l’articolo può essere inteso come un complemento alla preparazione, permettendo al lettore di cimentarsi in esercizi di carattere generale e vario. Segnaliamo inoltre la raccolta Algebra delle matrici 8 – calcolo della matrice inversa.

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L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Siano x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R} e sia V la seguente matrice n\times n

    \[V=\begin{pmatrix} 		1 & 1 & \cdots & 1 \\ 		x_1& x_2 & \cdots & x_n \\ 		x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ 		\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 		x_1^{n-1} & 	x_2^{n-1} & \cdots & 	x_n^{n-1}  		\end{pmatrix}\]

 

  1. Dimostrare che \det(V)=\displaystyle \prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i);
  2. Siano (x_1, x_2, x_3)= (1,2,3) a sia V la matrice 3\times 3 ottenuta al punto precedente (si osservi che V è non singolare).
    Risolvere con la regola di Cramer il sistema Vx=b, dove b=(1,4,16).

Svolgimento 1.

La matrice V è detta matrice di Vandermonde. La dimostrazione si può trovare al seguente link

Svolgimento 2.

E’ una semplice applicazione del punto 1. Infatti, la matrice che si ottiene sostituendo a una colonna di V il vettore dei termini noti b è ancora una matrice di Vandermonde. Nel nostro caso abbiamo \det(V)=(2-1)(3-1)(3-2)=2, dunque

    \begin{equation*} \begin{aligned} &	V(x,y,z)= (1,4,16) \Leftrightarrow \\\\ &  x= \dfrac{(2-4)(3-4)(3-2)}{2}= 1;\\\\ & y= \dfrac{(4-1)(3-1)(3-4)}{2}= -3;  \\\\ & z= \dfrac{(2-1)(4-1)(4-2)}{2}=3. \end{aligned}\end{equation*}


 
 

Esercizio 2  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia M una matrice antisimmetrica (ovvero M^T=-M) di ordine n.
 

  1. Dimostrare che \det(M)=0 se n è dispari;
  2. Dimostrare che per ogni v\in \mathbb{R}^n si ha v^TMv=0 (ovvero v è perpendicolare a Mv).

Svolgimento 1.

Ricordiamo che se A è una matrice quadrata di ordine n e \lambda \in \mathbb{R} allora \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A) e che \det(A^T)=\det(A). Da M^T=-M concludiamo allora che \det(M)=(-1)^n \det(M), da cui, per n dispari, \det(M)=0.

Svolgimento 2.

Si ha che v^TMv= (v^TMv)^T in quanto numeri. Inoltre, ricordando che (AB)^T=B^TA^T, abbiamo (v^TMv)^T=v^TM^Tv=-v^TMv, dunque concludiamo che v^TMv=0.

 
 

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia

    \[A=\begin{pmatrix} 	 		0 & 2 & -1 & 1 &0\\ 	 		0& 0 & 1& -1 & 1\\ 	 		1 & 1 & 0 & 1 &0 \\ 	 		1 & 5 & -3 & 4 &-1 	 		\end{pmatrix}\]

Determinare il rango di A usando il metodo degli orlati.

Svolgimento.

Il rango di A è 3.

Infatti, sviluppando il minore 3×3 in alto a sinistra rispetto alla prima colonna si vede subito che è non singolare in quanto il determinante è uguale a 2 (quindi 3\leq rk(A)\leq 4). Se orliamo il suddetto minore scegliendo la quarta colonna otteniamo la matrice

    \[\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1  &1\\ 0& 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0  &1 \\ 1 & 5 & -3  &4 \end{pmatrix}\]

la quale è singolare. Infatti, facendo prima l’operazione elementare R_4 \to R_4-R_3 e poi facendo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna, otteniamo che il suo determinante è

    \[\det \begin{pmatrix} 2 & -1  &1\\ 0 & 1 & -1\\ 4 & -3  &3 \\ \end{pmatrix}= \det \begin{pmatrix} 2 & -1  &1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1  &1 \\ \end{pmatrix}= 0.\]

Se orliamo lo stesso minore aggiungendo l’ultima colonna otteniamo la matrice

    \[\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1  &0\\ 0& 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0  &0 \\ 1 & 5 & -3  &-1 \end{pmatrix}\]

la quale è singolare. Infatti, ragionando come prima prima otteniamo che il suo determinante è

    \[\det \begin{pmatrix} 2 & -1  &0\\ 0 & 1 & 1\\ 4 & -3  &-1 \\ \end{pmatrix}= \det \begin{pmatrix} 2 & -1  &0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1  &-1 \\ \end{pmatrix}= 0.\]

In conclusione, siccome queste sono tutte e sole le matrici che orlano il suddetto minore, il Teorema degli orlati (o Teorema di Kronecker) ci garantisce che il rango è 3.


 
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
 

  1. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer

        \[\begin{cases} 			x-y+2z=2 \\ 			-x+2y+z=7\\ 			2x+y-z=3 			\end{cases}\]

  2. Risolvere il sistema Ax=b tramite il calcolo della matrice inversa, per A=\begin{pmatrix} 			1 & 0 & 2 \\ 			-1 & 3 & 1 \\ 			1 & 0 & 7 			\end{pmatrix}, b=\left(\begin{array}{c} 			0 \\ 			12 \\ 			-5 			\end{array}\right).

Svolgimento 1.

Sia A=(A^1\,A^2\,A^3) la matrice dei coefficienti e b=\left(\begin{array}{c} 	2 \\ 	7 \\ 	3 	\end{array}\right).

Si ha

    \begin{equation*} 	\begin{aligned} 	&\det(A)=-14, \quad \det(b\,A^2\,A^3)=-14, \\ 	& \det(A^1\,b\,A^3)=-42, \quad \det(A^1\,A^2\,b)=-28, 	\end{aligned}	 	\end{equation*}

dunque (x,y,z)= (1,3,2).

Svolgimento 2.

A^{-1}=\frac{1}{15}\begin{pmatrix} 	21 &0 & -6 \\ 	8 & 5 & -3 \\ 	-3 &0 & 3 	\end{pmatrix}, dunque x=A^{-1}b=\left(\begin{array}{c} 	2 \\ 	5 \\ 	-1 	\end{array}\right).

 
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia b= (1,1,4). Risolvere il sistema Ax=b, dove

    \[A=\begin{pmatrix} 			2 & 1 & 3 \\ 			4& 0 & 1 \\ 			0 & 0 & -1 			\end{pmatrix}\]

usando la regola di Cramer.

Svolgimento.

L’unica soluzione è (x,y,z)=\dfrac{1}{4}(5,42,-16).

 
 





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