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Algebra delle matrici 7 — determinanti, orlati, Cramer.

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 7 — determinanti, orlati, Cramer.

Presentiamo 5 esercizi svolti sul calcolo dei determinanti, sul metodo degli orlati per il calcolo del rango e sulla regola di Cramer. Poiché le tematiche affrontate sono varie, l’articolo può essere inteso come un complemento alla preparazione, permettendo al lettore di cimentarsi in esercizi di carattere generale e vario. Segnaliamo inoltre la raccolta Algebra delle matrici 8 – calcolo della matrice inversa.

 

Orlati,Cramer: Autori

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L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi su determinante, orlati e metodo di Cramer

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Siano x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R} e sia V la seguente matrice n\times n

    \[V=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1& x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}\]

 

  1. Dimostrare che \det(V)=\displaystyle \prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i);
  2. Siano (x_1, x_2, x_3)= (1,2,3) a sia V la matrice 3\times 3 ottenuta al punto precedente (si osservi che V è non singolare).
    Risolvere con la regola di Cramer il sistema Vx=b, dove b=(1,4,16).

Svolgimento punto 1.

La matrice V è detta matrice di Vandermonde. La dimostrazione si può trovare al seguente link

Svolgimento punto 2.

E’ una semplice applicazione del punto 1. Infatti, la matrice che si ottiene sostituendo a una colonna di V il vettore dei termini noti b è ancora una matrice di Vandermonde. Nel nostro caso abbiamo \det(V)=(2-1)(3-1)(3-2)=2, dunque

    \begin{equation*} \begin{aligned} & V(x,y,z)= (1,4,16) \Leftrightarrow \\\\ & x= \dfrac{(2-4)(3-4)(3-2)}{2}= 1;\\\\ & y= \dfrac{(4-1)(3-1)(3-4)}{2}= -3; \\\\ & z= \dfrac{(2-1)(4-1)(4-2)}{2}=3. \end{aligned}\end{equation*}


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia M una matrice antisimmetrica (ovvero M^T=-M) di ordine n.
 

  1. Dimostrare che \det(M)=0 se n è dispari;
  2. Dimostrare che per ogni v\in \mathbb{R}^n si ha v^TMv=0 (ovvero v è perpendicolare a Mv).

Svolgimento punto 1.

Ricordiamo che se A è una matrice quadrata di ordine n e \lambda \in \mathbb{R} allora \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A) e che \det(A^T)=\det(A). Da M^T=-M concludiamo allora che \det(M)=(-1)^n \det(M), da cui, per n dispari, \det(M)=0.

Svolgimento punto 2.

Si ha che v^TMv= (v^TMv)^T in quanto numeri. Inoltre, ricordando che (AB)^T=B^TA^T, abbiamo (v^TMv)^T=v^TM^Tv=-v^TMv, dunque concludiamo che v^TMv=0.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia

    \[A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 &0\\ 0& 0 & 1& -1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 &0 \\ 1 & 5 & -3 & 4 &-1 \end{pmatrix}\]

Determinare il rango di A usando il metodo degli orlati.

Svolgimento.

Il rango di A è 3.

Infatti, sviluppando il minore 3×3 in alto a sinistra rispetto alla prima colonna si vede subito che è non singolare in quanto il determinante è uguale a 2 (quindi 3\leq rk(A)\leq 4). Se orliamo il suddetto minore scegliendo la quarta colonna otteniamo la matrice

    \[\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 &1\\ 0& 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0 &1 \\ 1 & 5 & -3 &4 \end{pmatrix}\]

la quale è singolare. Infatti, facendo prima l’operazione elementare R_4 \to R_4-R_3 e poi facendo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna, otteniamo che il suo determinante è

    \[\det \begin{pmatrix} 2 & -1 &1\\ 0 & 1 & -1\\ 4 & -3 &3 \\ \end{pmatrix}= \det \begin{pmatrix} 2 & -1 &1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 &1 \\ \end{pmatrix}= 0.\]

Se orliamo lo stesso minore aggiungendo l’ultima colonna otteniamo la matrice

    \[\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 &0\\ 0& 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 &0 \\ 1 & 5 & -3 &-1 \end{pmatrix}\]

la quale è singolare. Infatti, ragionando come prima prima otteniamo che il suo determinante è

    \[\det \begin{pmatrix} 2 & -1 &0\\ 0 & 1 & 1\\ 4 & -3 &-1 \\ \end{pmatrix}= \det \begin{pmatrix} 2 & -1 &0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 &-1 \\ \end{pmatrix}= 0.\]

In conclusione, siccome queste sono tutte e sole le matrici che orlano il suddetto minore, il Teorema degli orlati (o Teorema di Kronecker) ci garantisce che il rango è 3.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
 

  1. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer

        \[\begin{cases} x-y+2z=2 \\ -x+2y+z=7\\ 2x+y-z=3 \end{cases}\]

  2. Risolvere il sistema Ax=b tramite il calcolo della matrice inversa, per A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}, b=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 12 \\ -5 \end{array}\right).

Svolgimento punto 1.

Sia A=(A^1\,A^2\,A^3) la matrice dei coefficienti e b=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 3 \end{array}\right).

Si ha

    \begin{equation*} \begin{aligned} &\det(A)=-14, \quad \det(b\,A^2\,A^3)=-14, \\ & \det(A^1\,b\,A^3)=-42, \quad \det(A^1\,A^2\,b)=-28, \end{aligned} \end{equation*}

dunque (x,y,z)= (1,3,2).

Svolgimento punto 2.

A^{-1}=\frac{1}{15}\begin{pmatrix} 21 &0 & -6 \\ 8 & 5 & -3 \\ -3 &0 & 3 \end{pmatrix}, dunque x=A^{-1}b=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right).

 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia b= (1,1,4). Risolvere il sistema Ax=b, dove

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4& 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

usando la regola di Cramer.

Svolgimento.

L’unica soluzione è (x,y,z)=\dfrac{1}{4}(5,42,-16).

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 5 PDF con esercizi misti risolti, ricchi di dettagli, per migliorare la tua comprensione del calcolo del determinante e dell’inversa di una matrice.

 
 

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.






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