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Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto

In questa dispensa presentiamo 18 esercizi completamente risolti sull’algebra delle matrici. Esploriamo le operazioni di somma, differenza e prodotto righe per colonne di matrici, fornendo esempi pratici che spiegano i concetti teorici. Se soluzioni sono, dove necessario, corredate da note aggiuntive che chiariscono ulteriormente degli aspetti interessanti.

Segnaliamo inoltre le raccolte Algebra delle matrici 2 – calcolo del determinante e Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango per ulteriori esercizi su temi collegati.
Auguriamo a tutti una buona lettura.

 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sulle proprietà e operazioni tra matrici. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

 

Autori e revisori

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Autore: Matteo Talluri, Silvia Lombardi

Revisori: Jacopo Garofali, Nicola Fusco


 

Prerequisiti teorici sull’algebra delle matrici

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Un vettore è un caso particolare di una matrice dove una delle dimensioni è 1. Se una matrice ha 1 riga è un vettore riga, se invece ha 1 colonna è un vettore colonna. Data una matrice A con m righe e n colonne e una matrice B con n righe e p colonne, la matrice AB è

    \[(AB)_{i,j} = \left( \sum_{k=1}^n a_{i,k} \, b_{k,j} \right)_{i,j}, \quad i=1, \dots, m, \; j=1,\dots, p.\]

dove ricordiamo che, data una matrice A, indichiamo con a_{i,j} l’elemento di A posto nella i-esima riga e j-esima colonna. La moltiplicazione tra matrici, e quindi anche tra vettori, è dunque il prodotto riga per colonna. In generale il prodotto tra matrici è un’operazione

    \[\mathcal{M}_{a\times b} \times \mathcal{M}_{b \times c} \longrightarrow \mathcal{M}_{a \times c}, \quad (A,B) \mapsto AB,\]

dove abbiamo denotato con \mathcal{M}_{a\times b} l’insieme delle matrici con a righe e b colonne.

La potenza di una matrice quadrata n\times n è la moltiplicazione della matrice stessa tante volte quando è l’esponente.

Data la matrice

    \[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix},\]

la matrice trasposta A^T si ottiene scambiando le righe con le colonne

    \[A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}.\]


 

Testi degli esercizi sull’algebra delle matrici

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente prodotto tra vettori

    \[\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento.

Occupiamoci del nostro esercizio:

    \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 & 1 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & 1 \cdot 1\\\\ -2 \cdot (-1) & -2 \cdot 0 & -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & -2 \cdot 1\\\\ 0 \cdot (-1) & 0 \cdot 0 & 0 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & 0 \cdot 1\\\\ \pi \cdot (-1) & \pi \cdot 0 & \pi \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) & \pi \cdot 1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -\pi & 0 & -\dfrac{\pi }{2} & \pi \end{pmatrix}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente prodotto tra vettori

    \[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\0\\\\ -\dfrac{1}{2}\\\\1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento.

Analogamente a prima,

    \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\0\\\\ -\dfrac{1}{2}\\\\1 \end{pmatrix} & = \left( 1 \cdot (-1) + (-2)\cdot 0 + 0 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \pi \cdot 1 \right) = \\\\ &= \left( -1 +\pi \right). \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare l’espressione matriciale

    \[\left[ \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix}^2 - \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ -1&-1 \end{pmatrix}^T.\]

Svolgimento.

Svolgiamo il nostro esercizio calcolando un fattore alla volta. Il primo prodotto è

    \[\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot 1 & -1 \cdot 1 & -1 \cdot 0\\ 1\cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\]

mentre la potenza è

    \[\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix}= \\\\ &= \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \\\\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 & 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \\\\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot(-1) & -1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 & -1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

ed infine della trasposta

    \[\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ -1&-1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&-1 \end{pmatrix}.\]

Svolgendo i calcoli abbiamo

    \[\begin{aligned} & \left[ \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&-1&1\\ -1&0&-2 \end{pmatrix}^2 - \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ -1&-1 \end{pmatrix}^T =\\\\ &=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 1 & -3 \\\\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 0\cdot 1 & -1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0\cdot (-2) & -1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-3) + 0\cdot 5 \\\\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0\cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) & 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) + 0\cdot 5 \end{pmatrix} + \\\\ &\hspace{0.5cm} -\begin{pmatrix} 1&0&-1\\\\ 1&1&-1 \end{pmatrix}=\\\\ &=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1&0&-1\\\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -1-1 & \quad -1-0 & \quad 0+1 \\\\ 1 -1 & \quad 1-1 & \quad 0+1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -2&-1&1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date le matrici

    \[A = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 0&2\\-2&1 \end{pmatrix}\]

calcolare

    \[\begin{aligned} & a) 2A-B;\\ & b) 3A+2B-4C;\\ & c) -2A+B+2C-2B;\\ & d) 3B+2(2A-C)-(A+B+2C);\\ & e) A^T+B^T-2C^T. \end{aligned}\]

Calcolo di a)

Calcoliamo

    \[2A = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1& 2\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&2\\ 2& 0 \end{pmatrix}\]

per cui

    \[2A-B = \begin{pmatrix} 2&2\\ 2& 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 2-1 \\ 2+1 & 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}.\]

Calcolo di b)

Calcoliamo

    \[\begin{aligned} 3A + 2B - 4C & = 3 \;\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} + 2 \;\begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} - 4 \; \begin{pmatrix} 0&2\\-2&1 \end{pmatrix}=\\\\ & = \begin{pmatrix} 3&3\\ 3&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4&2\\ -2&2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0&8\\-8&4 \end{pmatrix}=\\\\ & = \begin{pmatrix} 3+4 & \quad 3+2-8\\ 3-2+8 & \quad 0+2-4 \end{pmatrix} =\\\\ &= \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 9 & -2 \end{pmatrix} . \end{aligned}\]

Calcolo di c)

L’esercizio richiede

    \[-2A+B+2C-2B,\]

ovvero, svolgendo i calcoli,

    \[-2A-B+2C,\]

da cui

    \[\begin{aligned} -2A-B+2C & = -2\; \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} - \;\begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} +2 \;\begin{pmatrix} 0&2\\-2&1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -2&-2\\ -2&0 \end{pmatrix} - \;\begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} + \;\begin{pmatrix} 0&4\\-4&2 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -2-2 & -2-1+4 \\ -2+1-4 & -1+2 \end{pmatrix} =\\\\ &= \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

Calcolo di d)

L’esercizio richiede

    \[3B+2(2A-C)-(A+B+2C)\]

e svolgendo i calcoli otteniamo

    \[3B+2(2A-C)-(A+B+2C) = 3B + 4A - 2C - A - B - 2C = 3A +2B-4C,\]

per cui

    \[\begin{aligned} 3A +2B-4C & = 3 \; \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} + 2\;\begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} - 4\;\begin{pmatrix} 0&2\\-2&1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 3&3\\ 3&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4&2\\ -2&2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0&8\\-8&4 \end{pmatrix} =\\\\ & = \begin{pmatrix} 3+4 & 3+2-8\\ 3-2+8 & 2-4 \end{pmatrix} = \\\\ &= \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 9 & -2 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

Calcolo di e)

Possiamo scrivere

    \[A^T+B^T-2C^T = (A+B-2C)^T\]

poiché la somma algebrica di matrici trasposte è la trasposta della somma algebrica delle matrici (ovvero, l’operazione di trasposizione è lineare). Dunque calcoliamo

    \[\begin{aligned} A+B-2C & = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} -2\;\begin{pmatrix} 0&2\\ -2&1 \end{pmatrix} =\\\\ & = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0&4\\ -4&2 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 1+2 & 1+1-4\\ 1-1+4 & 1-2 \end{pmatrix} = \\\\ &= \begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

per cui

    \[\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 3&4\\ -2&-1 \end{pmatrix}.\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date le matrici

    \[A = \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ -1&1&1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -2&1&-1\\ 2&1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}.\]

Calcolare, se possibile,

    \[\begin{aligned} & a) AC;\\ & b) (BC)A;\\ & c) B+(CA);\\ & d) BA;\\ & e) BA^T;\\ & f) 3A^T+BC. \end{aligned}\]

Calcolo di a)

Eseguiamo il prodotto riga per colonna tra A e C ed è possibile farlo poiché A ha tre colonne e C ha tre righe:

    \[\begin{aligned} AC & = \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ -1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & \qquad 1\cdot 1 -1\cdot 1 + 0 \cdot (-1) \\\\ -1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 +1 \cdot 0 & \qquad -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} =\\\\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

Calcolo di b)

Eseguiamo il prodotto riga per colonna tra B e C ed è possibile farlo poiché B ha tre colonne e C ha tre righe

    \[\begin{aligned} BC & = \begin{pmatrix} -2&1&-1\\ 2&1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} -2\cdot 0 + 1 \cdot 1 -1\cdot 0 & \quad -2\cdot 1 + 1 \cdot 1 -1\cdot (-1) \\\\ 2\cdot 0 + 1 \cdot 1 +1\cdot 0 & \quad 2\cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1\cdot (-1) \\\\ 1\cdot 0 + 1 \cdot 1 +0\cdot 0 & \quad 1\cdot 1 + 1 \cdot 1 +0\cdot (-1) \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

dopo di che moltiplichiamo per la matrice A poiché si tratta della moltiplicazione fra la matrice BC di con tre righe e due colonne e la matrice A con due righe e tre colonne:

    \[(BC)A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ -1&1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]

Calcolo di c)

Eseguiamo il prodotto riga per colonna tra C e A ed è possibile farlo poiché C ha due colonne e A ha due righe

    \[\begin{aligned} CA = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ -1&1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

dopo di che sommiamo la matrice B poiché della stessa dimensione

    \[B+CA = \begin{pmatrix} -2&1&-1\\ 2&1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.\]

Calcolo di d)

La moltiplicazione BA non è possibile calcolarla poiché B ha tre colonne e A ha due righe.

Calcolo di e)

Eseguiamo il prodotto riga per colonna tra B e A^T ed è possibile farlo poiché B ha tre colonne e A^T ha tre righe. Innanzitutto scriviamo A^T

    \[A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

per cui

    \[BA^T = \begin{pmatrix} -2&1&-1\\ 2&1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

Calcolo di f)

Abbiamo già calcolato il prodotto BC e la trasposta di A quindi facciamo la somma

    \[\begin{aligned} 3 A^T+BC & = 3 \; \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} =\\\\ &= \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -3 & 3\\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \\\\ & = \begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2 & 5\\ 1 & 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una matrice quadrata A si dice idempotente se A^2=A. Dimostrare che se AB=A e BA=B allora A e B sono matrici idempotenti.

Svolgimento.

Se AB=A e BA=B allora

    \[(AB )\; (BA) = A \, B = A,\]

d’altra parte

    \[(AB )\; (BA) = A \, (BA) = (AB) \; A = A^2\]

quindi

    \[A=A^2.\]

Analogamente si dimostra

    \[(BA) \; (AB) = B \; A = B\]

e

    \[(BA) \; (AB) = B \; (AB) = (BA) \; B = B^2.\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Trovare una formula per il calcolo delle seguenti potenze di matrici a coefficienti reali e la si dimostri per induzione

    \[a)\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix}^n \qquad \qquad b)\begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}^n \qquad \qquad c)\begin{pmatrix} 0&1\\0&1 \end{pmatrix}^n\]

Svolgimento di a)

Il passo base è

    \[\begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1&2a\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]

Vogliamo dimostrare

    \[\begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1&na\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]

L’ipotesi induttiva, valida per n-1, è

    \[\begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix}^{n-1} = \begin{pmatrix} 1&(n-1)a\\ 0&1 \end{pmatrix},\]

dunque

    \[\begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix} \overset{\text{hp induttiva}}{=} \begin{pmatrix} 1&(n-1)a\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&na\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento di b)

Il passo base è

    \[\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^2 = 2 \; \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}.\]

Vogliamo dimostrare

    \[\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}.\]

L’ipotesi induttiva, valida per n-1, è

    \[\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^{n-1} = 2^{n-2} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix},\]

dunque

    \[\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix} \overset{\text{hp induttiva}}{=} 2^{n-2} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}^2 = 2^{n-1} \; \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento di c)

Per l’ultimo caso, osserviamo che il passo base è

    \[\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}\]

Vogliamo dimostrare

    \[\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix},\]

con l’ipotesi induttiva, valida per n-1, data da

    \[\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^{n-1} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]

Dunque,

    \[\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \overset{\text{hp induttiva}}{=} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \; \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]

Osserviamo che le matrici tali che A^n=A, per ogni n>0 sono dette idempotenti.


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Data la matrice

    \[A = \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\]

provare che A^2=2A-I_2 e calcolare A^{100}.

Suggerimento

Per il calcolo della potenza conviene usare una formula da dimostrare per induzione come nell’esercizio precedente.

Svolgimento.

Calcoliamo

    \[A^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{pmatrix}\]

e

    \[2A -I_2 = 2\; \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0\\ -2&2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.\]

Osserviamo che

    \[A^3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ -3&1 \end{pmatrix},\]

quindi la formula che vogliamo dimostrare è

    \[A^n = \begin{pmatrix} 1&0\\ -n&1 \end{pmatrix}.\]

Assumendo valida l’ipotesi induttiva, per n-1, cioè

    \[A^{n-1} = \begin{pmatrix} 1&0\\ -n+1&1 \end{pmatrix} ,\]

otteniamo quanto desiderato

    \[A^n = A^{n-1} A = \begin{pmatrix} 1&0\\ -n+1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ -n&1 \end{pmatrix}.\]

Quindi

    \[A^{100} = \begin{pmatrix} 1&0\\-100&1 \end{pmatrix}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Trovare le matrici della forma

    \[X = \begin{pmatrix} a&b\\ 0&c \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\]

tali che X^2=I_2. Provare inoltre che l’unica matrice di questa forma per cui si ha X^3=I_2 è la matrice X=I_2.

Svolgimento.

Abbiamo che

    \[X^2 = \begin{pmatrix} a&b\\ 0&c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\ 0&c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & ab+bc\\ 0&c^2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},\]

da cui

    \[\begin{cases} a^2=c^2=1\\ ab+bc=0. \end{cases}\]

da cui \{a,c\} \in \{-1,1\}. Ci sono due casi: se a=c allora dal sistema deduciamo che b=0, altrimenti se a\neq c dal sistema deduciamo che b può assumere ogni valore, dunque le matrici richieste sono

    \[\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1&b\\ 0&-1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} -1&b\\ 0&1 \end{pmatrix} .\]

Per la seconda richiesta osserviamo che

    \[X^3 = \begin{pmatrix} a^2 & ab+bc\\ 0&c^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\ 0&c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & a^2b+abc+bc^2\\ 0 & c^3 \end{pmatrix}\]

da cui

    \[\begin{cases} a^3=c^3=1 \quad \Rightarrow \quad a=c=1\\ a^2b+abc+bc^2=0 \quad \Rightarrow \quad b=0 \end{cases}\]

quindi

    \[X= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia data la matrice

    \[A = \begin{pmatrix} 1&0\\2&0 \end{pmatrix}\]

Trovare le matrici

    \[X = \begin{pmatrix} x&y\\ z&t \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\]

tali che

    \[AX = 0_2.\]

Svolgimento.

Svolgiamo il calcolo

    \[AX = \begin{pmatrix} 1&0\\2&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x&y\\ z&t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x&y\\ 2x & 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\]

da cui x=y=0, allora

    \[X = \begin{pmatrix} 0&0\\ z&t \end{pmatrix}\]

con z,t \in \mathbb{R}.


 

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Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sia data la matrice

    \[A = \begin{pmatrix} -1&1\\3&-2 \end{pmatrix}\]

Trovare le matrici

    \[X = \begin{pmatrix} x&y\\ z&t \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\]

tali che

    \[XA = 0_2.\]

Svolgimento.

Svolgiamo il calcolo

    \[XA =\begin{pmatrix} x&y\\ z&t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&1\\ 3&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+3y & x-2y\\ -z+3t & z-2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\]

da cui

    \[\begin{cases} -x+3y=0\\ x-2y=0\\ -z+3t=0\\ z-2t=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3y\\ x=2y\\ z=3t\\ z=2t \end{cases}\]

quindi

    \[X = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\]

che è la matrice nulla.


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Trovare tutte le matrici a coefficienti reali che commutano con la matrice

    \[A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}.\]

Ripetere lo stesso esercizio con la matrice

    \[B = \begin{pmatrix} 3&1\\-1&2 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento per A.

Una matrice X commuta con una matrice A se e solo se XA=AX. Scriviamo esplicitamente

    \[XA = \begin{pmatrix} x&y\\z&t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x&x+y\\ z&z+t \end{pmatrix}\]

e

    \[AX =\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y\\z&t \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{pmatrix}\]

Per avere l’uguaglianza tra matrici si deve avere l’uguaglianza tra gli elementi che occupano lo stesso posto (ergo stessa riga e stessa colonna), da cui:

    \[x=x+z \quad \Rightarrow \quad z=0\]

e

    \[x+y=y+t \quad \Rightarrow \quad x=t\]

dunque

    \[X = \begin{pmatrix} x&y\\ 0&x \end{pmatrix}\]

Svolgimento per B.

Allo stesso modo

    \[XB = \begin{pmatrix} x&y\\z&t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&1\\-1&2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3x-y&x+2y\\ 3z-t&z+2t \end{pmatrix}\]

e

    \[BX = \begin{pmatrix} 3&1\\-1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x&y\\z&t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x+z &3y+t\\ -x+2z &-y+2t \end{pmatrix}\]

da cui, dovendo avere l’uguaglianza tra gli elementi che occupano lo stesso posto, otteniamo il sistema

    \[\begin{cases} (XB)_{11} = (BX)_{11}\\ (XB)_{12} = (BX)_{12}\\ (XB)_{21} = (BX)_{21}\\ (XB)_{22} = (BX)_{22} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3x-y=3x+z\\ x+2y=3y+t\\ 3z-t = 2z-x\\ z+2t = 2t-y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=-z\\ t=x+z\\ x=t-z\\ z +2t=z+2t \end{cases}\]

dunque

    \[X = \begin{pmatrix} x&-z\\ z&x+z \end{pmatrix}\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano A e B due matrici simmetriche di ordine n a coefficienti reali. Provare che AB è una matrice simmetrica se e solo se AB=BA.

Svolgimento.

Ricordiamo che se X e Y sono matrici tali che XY è ben definito allora

    \[(XY)^T = Y^TX^T .\]

Supponiamo che AB sia simmetrica allora

    \[AB = (AB)^T = B^T A^T = BA\]

D’altra parte se AB=BA allora

    \[AB=BA =B^TA^T=(AB)^T\]

da cui deduciamo che AB è simmetrica.


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si dimostri che per ogni A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), le matrici

    \[a) A+A^T, \quad b) A^TA, \quad c) AA^T,\]

sono simmetriche e la matrice

    \[d) A-A^T\]

è antisimmetrica.

Svolgimento punto a).

Una matrice A si dice simmetrica quando A^T=A mentre si dice antisimmetrica quando A^T=-A. Inoltre, date due matrici A e B di dimensioni opportune si ha che

    \[(A^T)^T = A\]

e

    \[(AB)^T = B^T \; A^T \quad (\neq A^T \; B^T \; \mbox{in generale}).\]

Osserviamo che, per linearità della trasposizione,

    \[(A+A^T)^T = A^T+(A^T)^T=A^T+A= A+A^T,\]

quindi A+A^T è simmetrica.

Svolgimento punti b) e c).

Abbiamo

    \[(A^T A)^T = A^T (A^T)^T =A^T \; A,\]

e

    \[(A A^T)^T = (A^T)^T \; A^T =A \; A^T,\]

confermando così che A A^T e A^T A sono simmetriche.

Svolgimento punto d).

Infine

    \[(A-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T -A = - (A-A^T)\]

che conferma che A-A^T è antisimmetrica.


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano

    \[A=\begin{pmatrix} 1&2\\ -1&1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 0&1&-1\\ -1&1&-3 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-1&1\\ 2&1&0 \end{pmatrix},\]

poi

    \[D=(5), \qquad E=\begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0&3&1\\ -3&0&-2\\ -1&2&0 \end{pmatrix}.\]

Decomporre tali matrici come somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica.

Svolgimento.

Ricordiamo che se A è una matrice reale allora vale

    \[A = \underbrace{\dfrac{A+A^T}{2}}_{\text{\small{simmetrica}}}+\overbrace{\dfrac{A-A^T}{2}}^{\text{\small{antisimmetrica}}}\]

Abbiamo

    \[A^T = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 2&1 \end{pmatrix} \qquad \mbox{e} \qquad B^T= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&1&\\ 2&-1&-3 \end{pmatrix},\]

da cui

    \[A = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2&1\\1&2 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0&3\\-3&0 \end{pmatrix}\]

e

    \[B = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&0\\ 1&0&-6 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0&1&3\\ -1&0&-2\\ -3&2&0 \end{pmatrix}.\]

Le matrici C ed E sono già simmetriche.

La matrice D è simmetrica.

La matrice F è antisimmetrica.


 
 

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere esplicitamente tutte le matrici che verificano le seguenti proprietà

i) A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) con a_{ij} = \begin{cases} 0 \qquad \mbox{se } i\neq j\\ i \qquad \mbox{se } i=j \end{cases} ;
 
ii) A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) con a_{ij}=i-j;
 
iii) A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) con a_{ij}=i^2-j;
 
iv) A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{Z}) con a_{ij}=0 se i\ge2 e con \vert a_{11}\vert+\vert a_{12} \vert +\vert a_{13} \vert =2;
 
v) A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{Z}) con \vert a_{11}\vert+\vert a_{12} \vert + ... + \vert a_{23} \vert +\vert a_{33} \vert \leq 1.

Svolgimento punto i).

Indichiamo con a_{ij} l’elemento di riga i e colonna j. Gli unici elementi nulli sono quelli diagonali quindi

    \[A = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento punto ii).

Indichiamo con a_{ij} l’elemento di riga i e colonna j. Per ogni i=1,2,3 abbiamo a_{ii}=0. Inoltre a_{12}=-1, a_{21}=1, a_{13}=-2, a_{31}=2 e in questo modo abbiamo

    \[A = \begin{pmatrix} 0&-1&-2\\ 1&0&-1\\ 2&1&0 \end{pmatrix}.\]

Si osservi che la matrice ottenuta è antisimmetrica.

Svolgimento punto iii).

Indichiamo con a_{ij} l’elemento di riga i e colonna j. Calcoliamo esplicitamente tutti gli elementi da cui

    \[A = \begin{pmatrix} 0&-1&-2\\ 3&2&1\\ 8&7&6 \end{pmatrix}.\]

Svolgimento punto iv).

Indichiamo con a_{ij} l’elemento di riga i e colonna j. Se a_{ij}=0 per i\ge2, la seconda e terza riga di A sono nulle, inoltre se \vert a_{11}\vert+\vert a_{12} \vert +\vert a_{13} \vert =2 allora a_{ij} \in \{-2,-1,0,1,2\} perché i coefficienti sono interi, dunque le uniche matrici sono le seguenti

    \[\begin{pmatrix} \pm 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & \pm 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & \pm 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix},\]

e

    \[\begin{pmatrix} \pm 1 & \pm 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & \pm 1 & \pm 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & \pm 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}.\]

dove i segni sono indipendenti.

Svolgimento punto v).

La condizione impone che a_{ij} \in \{-1,0,1\} per ogni i,j. D’altra parte se \sum_{i,j=1}^3 \vert a_{ij} \vert \le 1 al più uno degli a_{ij} può essere 1 o -1, dunque oltre alla matrice nulla si ottengono le matrici che hanno un elemento uguale a 1 o -1 e tutti gli altri elementi nulli.

 
 

Esercizio 17 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Provare con un controesempio che per le matrici non valgono in generale le ben note formule

    \[a)(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 \qquad \mbox{e} \qquad b)A^2-B^2 = (A-B)(A+B).\]

Esibire poi dei casi particolari in cui tali formule sono valide.

Svolgimento punto a).

Osserviamo che

    \[(A+B)^2 = (A+B)(A+B)= A^2+AB+BA+B^2,\]

dunque vale la formula a) se e solo se

    \[AB+BA = 2AB,\]

che è equivalente a AB=BA, cioè A e B devono commutare. Pertanto, un controesempio si trova prendendo due matrici che non commutano come

    \[A = \begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix} \qquad \mbox{e} \qquad B = \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}\]

per cui

    \[AB = \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}\]

ma

    \[BA = \begin{pmatrix} 2&1\\0&0 \end{pmatrix}.\]

Se scegliamo come A e B due matrici diagonali l’equazione è verificata, in quanto commutano.

Svolgimento punto b).

Osserviamo che

    \[(A-B)(A+B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2\]

se e solo se AB=BA dunque le matrici

    \[A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} \qquad \mbox{e} \qquad B = \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}\]

sono un controesempio. D’altra parte se A e B sono matrici diagonali, l’equazione è verificata.


 
 

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). È ben noto che per i numeri reali vale la legge di annullamento del prodotto, cioè dati x,y \in \mathbb{R}, se xy=0 allora x=0 oppure y=0. Si può affermare che la stessa proprietà vale per le matrici?

Svolgimento.

In generale è falso, se prendiamo

    \[A = \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} \quad \mbox{e} \quad B = \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix}\]

allora A\neq 0, B \neq 0 mentre

    \[AB = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\]

Tuttavia può accadere che se AB=0 allora A=0 oppure B=0, anche se questo non è vero in generale. Se ad esempio B è la matrice identità allora

    \[AB= 0 \quad \Rightarrow \quad A=0,\]

in quanto AB=A.


 
 

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.







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