Esercizio 6 . Una sbarra rettilinea si trova in quiete sopra un piano orizzontale liscio; la sua lunghezza è
e la massa
. Mediante un colpo di martello dato a un estremo viene comunicata alla sbarra un impulso
orientato come nella figura che segue. Calcolare:
- la velocità del centro di massa della sbarra;
- la velocità angolare della sbarra;
- ‘energia cinetica della sbarra.
Figura 1: schema del problema.
Richiami teorici.
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne,
è la quantità di moto totale del sistema,
è la somma di tutti i momenti esterni al sistema,
è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema ,
è la velocità del centro di massa ed infine
è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo
.
Svolgimento punto 1.
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(2)
dove
(3)
e
(4)
(5)
abbiamo ottenuto che la variazione della quantità di moto totale del sistema (asta rigida) nell’intervallo di tempo è uguale all’impulso. È noto che
, cioè che la quantità di moto totale del sistema è uguale alla massa totale del sistema per la velocità del centro si massa, pertanto (5) diventa
(6)
ma all’istante è tutto in quiete, allora
, e quindi (6) diventa
(7)
La formula (7) ci dice che la velocità del centro di massa nell’istante , ovvero un istante dopo che sia stato applicato l’impulso
, ha modulo
, direzione e verso come il vettore
.
Figura 2: rappresentazione della velocità del centro di massa.
Si conclude con la seguente soluzione
Svolgimento punto 2.
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(8)
ovvero il momento dell’impulso rispetto ad un polo è uguale alla variazione del momento angolare rispetto al polo scelto per il calcolo del momento dell’impulso. Scegliendo come polo per il calcolo del momento dell’impulso il centro di massa dell’asta, e considerando solo i moduli di (8), si ha (notare che il braccio è , cioè la distanza tra il punto di applicazione dell’impulso e il centro di massa)
(9)
dove si è usata la notazione per indicare che è il momento angolare rispetto al centro di massa. Il sistema inizialmente è in quiete, pertanto il momento angolare iniziale è
, e quindi (9) diventa
(10)
dove è il momento angolare subito dopo l’urto; è noto che il momento angolare rispetto al centro di massa è esprimibile come
, dove
(ricordare il momento d’inerzia di un’asta), da cui
(11)
cioè
(12)
dove è la velocità angolare che possiede il sistema subito dopo l’urto.
Si conclude che la velocità angolare cercata è
Svolgimento punto 3.
(13)
dove
(14)
e
(15)
da cui
(16)
Si conclude che
1. Ricordiamo il teorema di König per l’energia cinetica:
(17)
dove è la massa totale del sistema,
è l’energia cinetica rispetto al centro di massa e
è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma dell’energia dovuto al moto del centro di massa sommata a quella del sistema rispetto al centro di massa. ↩
Fonte Esercizio.
Esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.