Esercizio urti 5

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sopra un piano orizzontale liscio sono posti due punti materiali di masse m_1 = 0.15 kg e m_2 = 0.37 kg, a contatto tra loro. Il punto m_1 è attaccato ad una molla di costante elastica k, in condizioni di riposo. Si sposta verso sinistra, comprimendo la molla, il punto m_1 di una quantità x_0=12 cm, mentre m_2 resta fermo, e lo si lascia libero con velocità nulla. Il punto m_1 ritorna verso il punto m_2 e lo urta in modo completamente anelastico. Calcolare lo spostamento massimo verso destra del sistema rispetto alla posizione di riposo della molla.

 

 

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Svolgimento.  Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy orientato in modo che l’asse x sia parallela all’asse della molla e che poniamo in modo che l’origine coincida con la posizione del punto di massa m_1. Nella prima fase del problema, la massa m_1 viene spostata verso destra comprimendo la molla di x_0=0.12 m; nel ritornare verso la condizione di riposo, però, la massa m_1 urta la massa m_2 e vi rimane attaccata. L’urto presente nel problema in esame è pertanto un urto completamente anelastico, in cui ricordiamo che la quantità di moto del sistema si conserva [1] . Per determinare con quale velocità la massa m_1 arriva al punto in cui è presente m_2, è utile effettuare alcune considerazioni circa la sua energia meccanica totale E, la quale, in assenza di forze dissipative, si conserva. Iniziamo a fare le nostre considerazioni dal momento in cui la molla è stata compressa della quantità x_0; per maggiore chiarezza, chiameremo questo punto A (vedi la figura 2).

 

 

 

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Nel punto A, il corpo m_1 è fermo, pertanto, nell’analisi della sua energia meccanica, non sarà presente la componente cinetica (ricordiamo infatti che l’energia cinetica è proporzionale alla velocità in accordo con K=\frac{1}{2}mv^2), mentre si avrà che tutta l’energia di m_1 risiede nella componente potenziale elastica [2]., ossia U_A = \frac{1}{2}k(-x_0)^2. Quando il corpo ritorna a contatto con la massa m_2 (punto B della figura 2), la molla torna a riposo e pertanto l’ energia potenziale elastica U_B sarà nulla, mentre adesso sarà presente una energia cinetica diversa da zero K_B = \frac{1}{2}m_1v_1^2. Poiché, come discusso prima, l’energia meccanica totale si conserva, sarà E_A=E_B, e cioè

(1)   \begin{equation*} \frac{1}{2}k(x_0)^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2. \end{equation*}

Troveremo dunque, esplicitando rispetto a v_1,

(2)   \begin{equation*} v_1=\sqrt{\frac{k}{m_1}}x_0, \end{equation*}

dove non è ancora possibile determinare il valore numerico di v_1, dato che la costante k non è nota. Nel punto B del problema in esame, a questo punto, avviene l’urto con la massa m_2, che, come già discusso inizialmente, è completamente anelastico. Possiamo dunque eguagliare la quantità di moto del sistema prima dell’urto con quella presente immediatamente dopo l’urto; scriveremo pertanto

(3)   \begin{equation*} p_1+p_2=p_T, \end{equation*}

dove p_1=m_1v_1 è la quantità di moto per la massa m_1, p_2=m_2v_2=0 \text{kg}\cdot \text{m}\cdot\text{s}^{-1} è la quantità di moto per la massa m_2, nulla poiché questa è inizialmente ferma, e p_T=(m_1+m_2)v_T è la quantità di moto del sistema subito dopo l’urto. Il sistema si sposta dunque verso destra con una velocità

(4)   \begin{equation*} v_T=\frac{m_1v_1}{m_1+m_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\sqrt{\frac{k}{m_1}}x_0=\frac{\sqrt{km_1}x_0}{m_1+m_2}. \end{equation*}

Riprendiamo a questo punto le considerazioni circa l’energia del sistema. Subito dopo l’urto, il sistema abbandona il punto B avendo solamente la componente cinetica dell’energia, poiché, come già discusso precedentemente, nel punto B la molla è a riposo, e pertanto non c’è alcuna componente di energia potenziale elastica. Il sistema raggiungerà poi la massima elongazione della molla nel punto C della figura 2; in tale punto il sistema si ferma, e dunque K_C=0 \text{J}, ma esisterà una componente potenziale elastica che denoteremo con U_C=\frac{1}{2}kA'^2, dove A' rappresenta la lunghezza relativa alla massima estensione della molla rispetto alla sua condizione di riposo. Poiché tra B e C l’energia meccanica totale del sistema si conserva, avremo

(5)   \begin{equation*} \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_T^2=\frac{1}{2}k(A')^2, \end{equation*}

e dunque

(6)   \begin{equation*} (m_1+m_2)\cdot\frac{{km_1}x_0^2}{(m_1+m_2)^2}=k(A')^2. \end{equation*}

Effettuate le opportune semplificazioni ed esplicitando per A' otterremo infine

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ A'=\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}x_0 = 0.064\ \text{m},}\]

che rappresenta la \textbf{soluzione del problema}.

Si osservi che A^\prime=x-\tilde{x} dove x è la distanza del sistema m_1+m_2 rispetto alla parete orizzontale e \tilde{x} è la posizione a riposo della molla; pertanto se si volesse calcolare la distanza massima rispetto alla parete orizzontale si avrebbe x=\tilde{x}+A^\prime.

 

 

 

 

1. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto. ↩

2. Ricordiamo che, in generale, l’energia meccanica totale è data dalla somma della componente cinetica e quella potenziale, che, in questo problema, è puramente elastica, sicché scriveremo E=K+U. ↩

 

 

 

 

Fonte: Fonte: Esercizio 8.9 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.