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Esercizio urti 4

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 4 è il quarto della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 3. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 5. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 4

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un proiettile di massa m=\text{0,1} kg e velocità v=200 m/s urta una sfera mantenuta in equilibrio da un filo inestensibile. La velocità v è orientata come in figura 1 e dopo l’urto la massa complessiva del sistema è M=10kg. Si consideri l’urto completamente anelastico e che avvenga in un tempo \tau=5\cdot10^{-4} s.

Calcolare

1) la variazione di quota della sfera dopo l’urto;

2) il valore della forza media durante l’urto.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schema problema.

Svolgimento punto 1.

L’esperimento considerato è un pendolo balistico, ossia un tipo di pendolo usato per determinare la velocità con la quale si muove un proiettile prima di urtare tale oggetto. Osserviamo per prima cosa che una volta avvenuto l’urto tra il proiettile e il corpo che compone il pendolo, il proiettile penetra all’interno in un tempo molto piccolo e dunque vi rimane dentro: l’urto considerato è pertanto di tipo completamente anelastico[1]. Possiamo a questo punto procedere determinando la velocità con cui il corpo abbandona il suo stato di quiete; per fare questo, ricordiamo che in un urto completamente anelastico, in assenza di vincoli, la quantità di moto del sistema si conserva

(1) \begin{equation*} p_1+p_2=p_T, \end{equation*}

dove si è indicata con p_1=mv la quantità di moto del proiettile, con p_2=m_2v_2=0 \text{kg} \cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} la quantità di moto del corpo, la quale è nulla poiché inizialmente quest’ultimo è in quiete, e con p_T=Mv_T la quantità di moto del sistema proiettile-corpo che si crea una volta verificatosi l’urto; in questo contesto, come specificato già nel testo dell’esercizio, M rappresenta la massa totale del sistema proiettile-corpo del pendolo. Possiamo dunque determinare v_T sostituendo le quantità nell’equazione precedente, e risolvendo:

(2) \begin{equation*} v_T=\frac{mv}{M}=2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}

Al fine di rispondere al primo punto, osserviamo che l’urto con il proiettile ha prodotto il sollevamento per un’altezza h del sistema corpo-proiettile, che etichetteremo come posizione B del sistema, rispetto alla sua posizione iniziale, che indicheremo come posizione A, come illustrato in figura 2.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: sollevamento del sistema corpo-proiettile dalla posizione A alla posizione B.

 

 

Nello spostamento tra la posizione A alla posizione B, in assenza di forze dissipative, l’energia meccanica E totale del sistema si conserva; quest’ultima è data dalla somma dell’energia cinetica K e quella potenziale gravitazionale U, sicché

(3) \begin{equation*} K_A + U_A = K_B + U_B. \end{equation*}

Osserviamo che, scegliendo di porre l’altezza pari a zero nella posizione A, l’ equazione precedente diventa

(4) \begin{equation*} \frac{1}{2}Mv_T^2 = Mgh, \end{equation*}

dove si è usata la definizione dell’energia cinetica K=\frac{1}{2}mv^2 e si è osservato che nel punto di massima altezza la velocità è pari a zero, pertanto K_B=0\,\text{J}. E’ allora possibile determinare l’altezza h dall’equazione precedente, che rappresenta la soluzione al punto 1) del problema:

\[\boxcolorato{fisica}{ h=\frac{v_T^2}{2g}= \text{0,20}\ \text{m}.}\]

 

1. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto ↩

 


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