Esercizio urti 4

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un proiettile di massa m=0.1 kg e velocità v=200 m/s urta una sfera mantenuta in equilibrio da un filo inestensibile. La velocità v è orientata come in figura 1 e dopo l’urto la massa complessiva del sistema è M=10kg. Si consideri l’urto completamente anelastico e che avvenga in un tempo \tau=5\cdot10^{-4} s.

Calcolare

a) la variazione di quota della sfera dopo l’urto;

b) il valore della forza media durante l’urto.

 

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Svolgimento. L’esperimento considerato è un pendolo balistico, ossia un tipo di pendolo usato per determinare la velocità con la quale si muove un proiettile prima di urtare tale oggetto. Osserviamo per prima cosa che una volta avvenuto l’urto tra il proiettile e il corpo che compone il pendolo, il proiettile penetra all’interno in un tempo molto piccolo e dunque vi rimane dentro: l’urto considerato è pertanto di tipo completamente anelastico\footnote{Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto.}. Possiamo a questo punto procedere determinando la velocità con cui il corpo abbandona il suo stato di quiete; per fare questo, ricordiamo che in un urto completamente anelastico, in assenza di vincoli, la quantità di moto del sistema si conserva

(1)   \begin{equation*} p_1+p_2=p_T, \end{equation*}

dove si è indicata con p_1=mv la quantità di moto del proiettile, con p_2=m_2v_2=0 \text{kg} \cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} la quantità di moto del corpo, la quale è nulla poiché inizialmente quest’ultimo è in quiete, e con p_T=Mv_T la quantità di moto del sistema proiettile-corpo che si crea una volta verificatosi l’urto; in questo contesto, come specificato già nel testo dell’esercizio, M rappresenta la massa totale del sistema proiettile-corpo del pendolo. Possiamo dunque determinare v_T sostituendo le quantità nell’equazione precedente, e risolvendo:

(2)   \begin{equation*} v_T=\frac{mv}{M}=2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}

Al fine di rispondere al primo punto, osserviamo che l’urto con il proiettile ha prodotto il sollevamento per un’altezza h del sistema corpo-proiettile, che etichetteremo come posizione B del sistema, rispetto alla sua posizione iniziale, che indicheremo come posizione A, come illustrato in figura 2.

 

 

 

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Nello spostamento tra la posizione A alla posizione B, in assenza di forze dissipative, l’energia meccanica E totale del sistema si conserva; quest’ultima è data dalla somma dell’energia cinetica K e quella potenziale gravitazionale U, sicché

(3)   \begin{equation*} K_A + U_A = K_B + U_B. \end{equation*}

Osserviamo che, scegliendo di porre l’altezza pari a zero nella posizione A, l’ equazione precedente diventa

(4)   \begin{equation*} \frac{1}{2}Mv_T^2 = Mgh, \end{equation*}

dove si è usata la definizione dell’energia cinetica K=\frac{1}{2}mv^2 e si è osservato che nel punto di massima altezza la velocità è pari a zero, pertanto K_B=0\,\text{J}. E’ allora possibile determinare l’altezza h dall’equazione precedente, che rappresenta la \textbf{soluzione al punto a) del problema}:

      \[\boxcolorato{fisica}{ h=\frac{v_T^2}{2g}= 0.20\ \text{m}.}\]

Per rispondere al punto b) del problema, ricordiamo che è possibile determinare la forza media conoscendo la variazione della quantità di moto in accordo con

(5)   \begin{equation*} F_m=\frac{\Delta p}{\tau}, \end{equation*}

dove \Delta p rappresenta la variazione della quantità di moto che avviene tra l’inizio dell’infiltrazione del proiettile e il punto in cui esso ha arrestato il suo moto. Possiamo allora determinare la soluzione al punto b) del problema:

 

      \[\boxcolorato{fisica}{ F_m=\frac{m(v_T-v)}{\tau}=-4\cdot 10^4\ \text{N}.}\]

dove il segno meno è rappresentativo del fatto che la forza agisce in verso opposto rispetto al moto del proiettile.

 

 

 

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In figura 3 si rappresenta il proiettile che penetra nel corpo che costituisce il pendolo balistico; esso raggiunge la superficie del corpo alla velocità \vec{v} e prosegue il suo moto, soggetto ad una forza \vec{F}_m che si oppone alla direzione del moto stesso, per un tempo \tau molto piccolo.

 

1. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto ↩

 

 

Fonte: Fonte: Esercizio 8.5 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.